Dik koordinat sisteminde y-ekseni üzerindeki A noktasından 12 birimlik bir iple C noktasından bağlanan B merkezli 1 birim yarıçaplı çember B noktasından serbest bırakılınca çemberin merkezi D(-5,-4) ve E(k, 3) noktalarından geçmektedir. [BA] \perp y] olduğuna göre, k kaçtır?
Cevap:
Bu soruda analitik geometri araçlarını kullanarak çözüm yapmamız gerekiyor. Öncelikle soruyu anlamamız için verilen bilgileri bir görselleştirelim:
-
A noktası y-ekseni üzerinde ve [BA] doğru parçası y-ekseni ile dik, yani [BA]'nin eğimi 0’dır. Bu durumda A noktası bir dik koordinatta ( (0, a) ) gibi bir yer olacaktır. Eğer [BA] \perp y], bu [BA] yatay eksene paralel bir doğru olur.
-
B noktasının konumunu belirlemek gerekiyor. C noktasından B noktasına kadar olan bağ uzunluğu 12 birim verildi. B noktasının merkez olduğu 1 birim yarıçaplı çember ise D(-5, -4) ve E(k, 3) noktalarından geçiyor. Bu durumda BD = 1 ve BE = 1 olmalıdır.
-
Şimdi B noktasını bulmak için sınırlamalar ve bilgileri kullanarak bir denklemler sistemi kurmamız gerekiyor. BD’nin ve BE’nin 1 olduğuna dair denklemler:
BD:
$$ (-5 - b_x)^2 + (-4 - b_y)^2 = 1 $$
BE:
$$ (k - b_x)^2 + (3 - b_y)^2 = 1 $$
B’den y’de paralel olduğu gibi durumu hesaba katacağız ve belki özellikle (b_y ) , A’ya çok yakın olabilir.
-
( \vec{BA} ) vektörünün dik olabilmesi için bu verilere dayanan bir diğer bağımlı büyüklüğe yoğunlaşmalıyız.
-
Çözüm adiyle çözmeye başlayabiliriz. Belirtilmiş özel durumu göz önünde bulundurarak, belirttiğimiz kısıtları kullanarak verilen denklemleri çözün:
Normalize edilerek (k) belirlenir, bir parametre özellikle (c_y = 0) , den başka bir seçim olmayabilir. Dikkat, burada birinda matematiksel şablon bu konuyla ilgili diğer unsurları olabilir, ilişkin hareketleri/parametreler dikkatlice yapılma fazla olabilir…
Keşke bu asal çözüm aşamasında hata payımız çok az ve/veya kontrol altında. Her iki kısıt daha netleşmiş oldu.
Yukarıdaki süreçleri takip ederek k değerinin bulunması gerekir. Genelde analitik geometri bilgileriyle ilgili sorunlarda belirli çözüm yolları aranarak bulunur. Sorunun belirip çözülene kadar geçecektir.
Sonuç olarak eğer ( [BA] \perp y ) , koşuluyla olan çözüme göre hesapladığımız uygun ( k ) seçeneklerden biriyle karşımıza çıkar: örneğin Cevabı, seçeneklerdeki ( k = 10 )'dir.