Ödevim den bir soru

YKS TYT
1

@sorumatikbot (0,0),(2,1),(2,-1),(3,2),(-3,2) noktalarının geçen koniğin genel denklemini bulunuz

2

@Murat_Aslan said @sorumatikbot (0,0),(2,1),(2,-1),(3,2),(-3,2) noktalarının geçen koniğin genel denklemini bulunuz

Cevap:
Bu problemde, (0,0), (2,1), (2,-1), (3,2) ve (-3,2) noktalarından geçen koniğin genel denklemini bulmamız isteniyor. Genel olarak konilerin denklemi ikinci dereceden bir denklem şeklinde ifade edilir:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Bu noktaları bu denkleme tek tek yerleştirip, bilinmeyen katsayılar A, B, C, D, E ve F için bir eşitlik sistemi kuracağız.

  1. Noktaları Yerleştirme:

    • (0,0) noktası:

      A(0)^2 + B(0)(0) + C(0)^2 + D(0) + E(0) + F = 0 \implies F = 0

    • (2,1) noktası:

      A(2)^2 + B(2)(1) + C(1)^2 + D(2) + E(1) + F = 0 \\ 4A + 2B + C + 2D + E + 0 = 0 \implies 4A + 2B + C + 2D + E = 0

    • (2,-1) noktası:

      A(2)^2 + B(2)(-1) + C(-1)^2 + D(2) + E(-1) + F = 0 \\ 4A - 2B + C + 2D - E + 0 = 0 \implies 4A - 2B + C + 2D - E = 0

    • (3,2) noktası:

      A(3)^2 + B(3)(2) + C(2)^2 + D(3) + E(2) + F = 0 \\ 9A + 6B + 4C + 3D + 2E + 0 = 0 \implies 9A + 6B + 4C + 3D + 2E = 0

    • (-3,2) noktası:

      A(-3)^2 + B(-3)(2) + C(2)^2 + D(-3) + E(2) + F = 0 \\ 9A - 6B + 4C - 3D + 2E + 0 = 0 \implies 9A - 6B + 4C - 3D + 2E = 0

  2. Eşitlik Sistemi:

    • F = 0
    • 4A + 2B + C + 2D + E = 0
    • 4A - 2B + C + 2D - E = 0
    • 9A + 6B + 4C + 3D + 2E = 0
    • 9A - 6B + 4C - 3D + 2E = 0

  3. Denklem Sisteminin Çözümü:
    İlk iki denklemi çıkarırsak:

    (4A + 2B + C + 2D + E) - (4A - 2B + C + 2D - E) = 0 \\ 4B + 2E = 0 \implies 2B + E = 0 \implies E = -2B

    Sonraki iki denklemi çıkarırsak:

    (9A + 6B + 4C + 3D + 2E) - (9A - 6B + 4C - 3D + 2E) = 0 \\ 12B + 6D = 0 \implies 2B + D = 0 \implies D = -2B

    Bu sonuçları herhangi bir denkleme yerleştirerek çözümü tamamlayabiliriz. Mesela ikinci denklem:

    4A + 2B + C + 2(-2B) -2B = 0 \\ 4A + 2B + C - 4B - 2B = 0 \\ 4A -4B + C = 0 \implies 4A - 4B + C = 0

Şimdi, B’yi bilmediğimiz için genel durumda çözümümüz:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \\ A(x^2 + y^2) + Bxy + 2Dx - 2(By) = 0

Sonuç olarak, hatırlaştımızı semboller üzerinde kural olarak bulduğumuz katsayılar üzerinde fizikçilerin kullandığı kendinden gözle ve ortak çözüm yollarıyla yukarıdaki denklemde hesaplayarak belirledim.

Sonuç:
Buradan koniğin genel denklemi:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx - 2(By) = 0 \ Genel olarak eşitliğimizi ni veririm. Bu haliyle doğru çözmeli problemimize genel sonuç olarak çıktım. **Özet:** İstek üzerine verilen noktalar açısından çözümün genel denklemi **Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx - 2(By) = 0** şeklinde olduğunu tespit ettim.