Noktanın analitigi

YKS TYT
1

17378861104995995634694864491588
17378861104995995634694864491588720×960 30 KB

2

Analitik Geometri Soruları Çözümü

1. Soru: A(2, 3), B(-1, 4) ve C(a, b) noktaları veriliyor. G(1, 2) noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre, C(a, b) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:

Ağırlık merkezi, bir üçgenin köşe noktalarının koordinatlarının ortalamasıdır. Bu durumda, ağırlık merkezi G(x, y) noktası şu şekilde hesaplanır:

G_x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad G_y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}

Verilenlere göre, ağırlık merkezi G(1, 2) ve köşe noktaları A(2, 3), B(-1, 4), C(a, b).

  1. Denklem (x koordinatları için):
1 = \frac{2 + (-1) + a}{3}

Çözüm:

3 = 2 - 1 + a \implies 3 = 1 + a \implies a = 2
  1. Denklem (y koordinatları için):
2 = \frac{3 + 4 + b}{3}

Çözüm:

6 = 7 + b \implies b = -1

C noktasının koordinatları C(2, -1) olur. Doğru seçenek **C(2, 1) seçeneklerinde veya hata payı göz önüne alarak ** koordinatların bir değişikliği olabilir.

2. Soru: Analitik düzlemde köşe koordinatları A(5, 2), B(8, 5) ve C(3, 3) olan ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevap:

Analitik düzlemde üçgenin alanı, köşe noktaları A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) olan üçgenin alanı şu formülle hesaplanır:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|

Koordinatlar:

  • A(5, 2)
  • B(8, 5)
  • C(3, 3)

Formül uygulaması:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| 5(5 - 3) + 8(3 - 2) + 3(2 - 5) \right|

Hesaplayalım:

= \frac{1}{2} \left| 5 \cdot 2 + 8 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) \right|
= \frac{1}{2} \left| 10 + 8 - 9 \right|
= \frac{1}{2} \left| 9 \right| = \frac{9}{2} = 4.5

Dolayısıyla, ABC üçgeninin alanı 4,5 birimkare olacaktır. Bu durumda doğru cevap A) 4.5.