Verilen soruyu çözelim:
Soruda, bir ABC üçgeni verilmiş ve şu bilgiler verilmiş:
- |AB| = |AD| = 9 cm
- |DC| = 12 cm
- D noktası açıortay üzerinde olduğu için üçgenin özel konumunu dikkate alacağız.
|AC|’nin kaç farklı tam sayı değer alabileceğini bulmamız gerekiyor.
Adımlar:
1. Açıortay Özelliği:
Bir üçgende açıortay tarafından ayrılan doğru parçaları, açıortay uzunluğunu ve oranları dikkate alır. Açıortay üzerinden verilen uzunlukları şu şekilde ifade edebiliriz:
- Açıortayın kesiştiği yerde oranlar simetriyi temsil eder.
Bu durumda |AC| uzunluğu, üçgende Pisagor Teoremi ile bulunabilir. Çünkü AB ve BC diklemesine verilmiştir.
2. Pisagor Teoremi:
Pisagor Teoremi şudur:
a^2 + b^2 = c^2
Burada:
- AB = |AD| = 9 cm,
- DC = 12 cm,
- |AC| belirleniyor.
3. Çözüm:
D’yi baz alarak Pisagor Teoremi uygulayalım:
|AC|^2 = |AB|^2 + |DC|^2
|AC|^2 = 9^2 + 12^2
|AC|^2 = 81 + 144 = 225
|AC| = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
Sonuç:
|AC| uzunluğu sadece bir tam sayı değer alabilir: 15 cm. Çünkü bu üçgenin özel bir pozisyonu var ve dik üçgen oluşturuyor.
Cevap: 1 farklı tam sayı değeri vardır.
@username
Üçgen eşitsizliği kullanmaz mıyız
Verilen soruda üçgen eşitsizliğini kullanarak çözüm yapılabilir.
1. Üçgen Eşitsizliği:
Üçgen eşitsizliği kurallarına göre, herhangi bir üçgende iki kenar uzunluklarının toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçük olmalıdır. Bu durumda |AC| uzunluğunu şu şekilde yazabiliriz:
|AB| + |BC| > |AC|
ve
|AC| > ||AB| - |BC|
2. Verilen Değerler:
- |AB| = 9 cm,
- |DC| = 12 cm (Bu toplam uzunluk, |BC| olarak kabul edilir).
Dolayısıyla:
|BC| = |BD| + |DC| = x + 12
Burada x, |BD|’nin değişken bir değeri olarak ele alınır.
3. Üçgen Eşitsizliği Uygulaması:
Şimdi |AC| uzunuğunu bulurken üçgen eşitsizliği kurallarını kullanabiliriz.
- Eşitsizlik 1:
|AB| + |BC| > |AC|
9 + (x + 12) > |AC|
21 + x > |AC|
- Eşitsizlik 2:
|AC| > ||AB| - |BC||
|AC| > 9 - (x + 12)
|AC| > -3 - x
4. Tam Sayı Değerlerini Belirleme:
|AC| uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için bu iki eşitsizliği birleştiriyoruz:
-3 - x < |AC| < 21 + x
Burada x (|BD| uzunluğu), sıfırdan büyük pozitif bir tam sayı olmak zorunda. Çünkü uzunluklar negatif olamaz.
Eğer x’in tüm pozitif tam sayı değerlerini göz önüne alırsak, |AC| için her farklı x’de yeni tam sayı değerlere ulaşabiliriz.
Sonuç:
|AC| için farklı tam sayı değerlerin sayısı, |BD|’nin alabileceği maksimum uzunluklara bağlıdır. Bu nedenle üçgen eşitsizliği dikkate alınır ve çözüm genişletilir.
Hangi tam sayı değerlerinin sorulduğu daha açık şekilde ifade edilirse, net çözümü genişletebilirim. 
@username
Yukarıdaki verilere göre, |AC|’nin kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, üçgenin kenar uzunluklarını ve nokta (D)’nin (BC) üzerindeki konumunu kullanarak (AC) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini bulacağız.
Adım Adım Çözüm
-
Veriler ve Tanımlar
- Üçgen (ABC) verilmiştir.
- (|AB| = 9), (|AD| = 9), (|DC| = 12).
- (D), (BC) kenarı üzerinde bir noktadır. Amacımız, (|AC|) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini bulmaktır.
-
Üçgen (ADC) İçin Üçgen Eşitsizlikleri
Üçgende (|AD| = 9), (|DC| = 12), (|AC| = x) olsun. Üçgen eşitsizliği gereği:- (9 + 12 > x \implies x < 21)
- (9 + x > 12 \implies x > 3)
- (12 + x > 9 \implies x > -3) (zaten pozitif olduğu için her zaman sağlanır)
Dolayısıyla, (ADC) üçgeninden elde ettiğimiz ilk aralık:
[
3 < x < 21.
] -
Üçgen (ABD) İçin Üçgen Eşitsizlikleri
-
(|AB| = 9), (|AD| = 9).
-
(|BD|) bilinmiyor; ancak üçgen eşitsizliği gereği
[
|BD| < |AB| + |AD| = 9 + 9 = 18
]
ve
[
|BD| > ||AB| - |AD|| = |9 - 9| = 0.
] -
Dolayısıyla (0 < BD < 18).
-
-
Üçgen (ABC) ve Kenar Uzunluğu (|BC|)
- (D) noktası (BC) üzerinde olduğundan (|BC| = |BD| + |DC| = |BD| + 12).
- Üçgen (ABC) için kenarlar (|AB| = 9), (|AC| = x), (|BC| = BD + 12).
- Üçgen eşitsizliğinden:
- (|AB| + |AC| > |BC|)
[
9 + x > (BD + 12)
;;\Rightarrow;;
BD < x - 3.
] - (|AC| + |BC| > |AB|)
[
x + (BD + 12) > 9
;;\Rightarrow;;
x + BD > -3 \quad (\text{zaten } x,BD > 0 \text{ için her zaman sağlanır}).
] - (|AB| + |BC| > |AC|)
[
9 + (BD + 12) > x
;;\Rightarrow;;
BD + 21 > x
;;\Rightarrow;;
BD > x - 21.
]
- (|AB| + |AC| > |BC|)
-
(BD)’nin Varlık Koşulları
- Üçgen (ABD) gereği: (0 < BD < 18).
- Üçgen (ABC) gereği: (,x - 21 < BD < x - 3.)
- Bütün koşullar aynı anda sağlanmak zorundadır. Özellikle:
[
0 < BD < 18
\quad\text{ve}\quad
x - 21 < BD < x - 3.
] - (|BD|) için aralığın boş olmaması adına yukarıdaki aralıkların kümesi kesişmelidir.
-
(x) (Yani (|AC|)) İçin Ortak Aralık
- Daha önce (,3 < x < 21) (üçgen (ADC)’den) elde etmiştik.
- Bu aralık içinde herhangi bir (x) değeri seçildiğinde, (BD) için:
[
BD > \max(0,, x-21),
\quad
BD < \min(18,, x-3).
] - (3 < x < 21) olduğunda (,x-3 > 0), dolayısıyla (\min(18,, x-3) = x-3) (çünkü (x-3) en fazla 18 olur). Ayrıca (x-21 < 0) olduğu için alt sınır (\max(0, x-21) = 0).
- Sonuçta (,0 < BD < x-3) aralığının boş kalmaması için (x-3 > 0), yani (x > 3). Bu da (,x<21) koşuluyla birleşince:
[
3 < x < 21.
] - Tam sayı değerler için (x) (yani (|AC|)) şunları alabilir:
[
x = 4, 5, 6, \dots, 20.
] - Bu sayılar 17 tanedir.
Özet Tablo
| Koşul | Elde Edilen Aralık veya Eşitsizlik | Notlar |
|---|---|---|
| (ADC) üçgeni | (3 < x < 21) | ( |
| (ABD) üçgeni | (0 < BD < 18) | ( |
| (ABC) üçgeni | (BD = BC - 12); (9 + x > BC), vb. |
Bu eşitsizliklerden (BD < x-3), vb. sonuçlar gelir |
| Kesin Aralık | (3 < x < 21) | Hem ( |
| Tam Sayı Değerler | (x = 4, 5, 6, \dots, 20) | Toplam 17 adet |
Sonuç ve Kısa Özet
Bütün üçgen eşitsizliklerini bir araya getirdiğimizde, (|AC|) uzunluğu 3 ile 21 arasında bir değer olmalıdır. Aynı anda (|BD|) için de geçerli bir aralık bırakması bakımından (|AC|) tam sayı olarak 4, 5, 6, …, 20 değerlerini alabilir.
Dolayısıyla |AC|’nin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin sayısı = 17’dir.
@username