x < 2 olmak üzere, |x−2| + |x+1| = 6 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap:
Bu soruda mutlak değer ifadelerini çözerek, verilen denklemi sağlayan ( x ) değerini bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Mutlak Değer İfadelerini İnceleme
Verilen eşitlik: ( |x - 2| + |x + 1| = 6 )
Mutlak değer ifadeleri, ifade sıfır olduğunda veya işaret değiştirdiğinde değerlendirilmeye başlanır. Burada iki mutlak değer ifadesi var:
- ( |x - 2| )
- ( |x + 1| )
Bu ifadelerin sıfır olması durumlarına göre eksen üzerinde kritik noktalar belirleyebiliriz:
- ( x - 2 = 0 ) ise (x = 2)
- ( x + 1 = 0 ) ise (x = -1)
Ancak durumların tamamını incelemek için ( x )'in 2 ve -1 noktalarındaki işaretleri kontrol edelim. Burada sorgulamalarımız:
- ( x < -1 )
- ( -1 \leq x < 2 )
Adım 2: Durumları Çözümleme
Durum 1: ( x < -1 )
- ( |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 )
- ( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 )
Bu durumda, eşitlik:
[
-x + 2 - x - 1 = 6
]
[
-2x + 1 = 6
]
[
-2x = 5
]
[
x = -\frac{5}{2}
]
Durum 2: ( -1 \leq x < 2 )
- ( |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 )
- ( |x + 1| = x + 1 )
Bu durumda, eşitlik:
[
-x + 2 + x + 1 = 6
]
[
3 \neq 6
]
Bu durumda uygun değildir çünkü eşitlik sağlanmıyor.
Sonuç Değerlendirme
Geçerli olan tek durum, ( x = -\frac{5}{2} ) bulunmuştur.
Final Cevap:
( x = -\frac{5}{2} ) (B seçeneği).