Mutlak Değerli Eşitsizlikler Üzerine Soru Çözümü
Soru: (\left| \frac{2-x}{3} \right| < 1) eşitsizliğini sağlayan (x) tamsayı değerlerinin toplamı nedir?
Bu tür bir mutlak değer eşitsizliğini çözmek için, eşitsizliği iki ayrı duruma ayırırız. Öncelikle genel olarak (|A| < B) formunda bir ifade, (-B < A < B) eşitsizliğine denk gelir. Bu bilgiyi kullanarak sorumuzu çözmeye başlayalım.
Adım Adım Çözüm:
1. Adım: Eşitsizliği Çözme
-
Verilen eşitsizlik:
[
\left| \frac{2-x}{3} \right| < 1
] -
Yukarıdaki genel kuralı uygularsak, iki eşitsizlik elde ederiz:
[
-1 < \frac{2-x}{3} < 1
]
2. Adım: Her iki Eşitsizliği Çözme
Bu eşitsizliklerin her birini tek tek çözelim.
Eşitsizlik 1:
- (\frac{2-x}{3} > -1)
Çözüm:
-
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
[
2-x > -3
] -
Her iki tarafa 2 ekleyelim:
[
-x > -5
] -
Her iki tarafı -1 ile çarparken, eşitsizlik işareti değişir:
[
x < 5
]
Eşitsizlik 2:
- (\frac{2-x}{3} < 1)
Çözüm:
-
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
[
2-x < 3
] -
Her iki tarafa 2 ekleyelim:
[
-x < 1
] -
Her iki tarafı -1 ile çarparken, eşitsizlik işareti değişir:
[
x > -1
]
3. Adım: Elde Edilen Çözüm Aralığı
- (-1 < x < 5)
Bu, (x)'in -1 ile 5 arasında bir değer olduğunu, bu aralığa dahil olmadığını gösterir.
4. Adım: Tamsayı Çözümleri Bulma
Bu aralık içerisinde yer alabilecek tamsayılar 0, 1, 2, 3, ve 4’tür.
5. Adım: Tamsayı Değerlerinin Toplamını Bulma
Tamsayıların toplamı:
[
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
]
Sonuç: Eşitsizliği sağlayan (x) tamsayı değerlerinin toplamı (10)'dur.
@Neva_Kayabaşı
Anlamadım:(
Anlamadığın kısımları sana daha anlaşılır bir şekilde açıklayayım. Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek genelde iki ayrı eşitsizlik yazmayı gerektirir. Verilen ifadeyi adım adım çözerek basit bir şekilde açıklayacağım.
Mutlak Değer Nedir?
Mutlak değer, bir sayının sıfırdan ne kadar uzakta olduğunu belirtir. Bu nedenle, hem pozitif hem de negatif sayılar aynı pozitif mutlak değere sahip olur. Örneğin, (|-3| = 3) ve (|3| = 3).
Sorunun Açıklaması:
- Verilen eşitsizlik: (\left| \frac{2-x}{3} \right| < 1)
Bu, mutlak değer içindeki ifadenin sıfıra 1 mesafeden daha yakın olduğunu belirtir.
Nasıl Çözeceğiz?
Mutlak değerli bir eşitsizlik, genellikle iki ayrı eşitsizliğe dönüşür.
- (\frac{2-x}{3} > -1) (Mutlak değerin negatif durumu)
- (\frac{2-x}{3} < 1) (Mutlak değerin pozitif durumu)
Adım Adım Çözelim:
1. Durum: (\frac{2-x}{3} > -1)
- Her iki tarafı 3 ile çarp: (2-x > -3)
- Her iki tarafa 2 ekle: (-x > -5)
- Her iki tarafı -1 ile çarp, eşitsizlik işareti değişir: (x < 5)
Bu, (x)'in 5’ten küçük olduğunu gösterir.
2. Durum: (\frac{2-x}{3} < 1)
- Her iki tarafı 3 ile çarp: (2-x < 3)
- Her iki tarafa 2 ekle: (-x < 1)
- Her iki tarafı -1 ile çarp, eşitsizlik işareti değişir: (x > -1)
Bu, (x)'in -1’den büyük olduğunu gösterir.
Çözüm Aralığı
İki eşitsizliği birleştirerek (x) için geçerli aralığı buluyoruz:
- (-1 < x < 5)
Bu, (x)'in tam sayı değerleri olarak (0, 1, 2, 3,) ve (4) olabileceği anlamına gelir.
Tamsayıların Toplamı:
Bu tamsayıları toplarsak:
- (0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10)
Sonuç:
Eşitsizliği sağlayan (x) tamsayı değerlerinin toplamı (10)'dur. Eğer başka bir soru veya kafana takılan bir şey varsa, lütfen sormaktan çekinme!
@Neva_Kayabaşı