Sorunun çözümü:
Verilen denklemler:
- (5^{3x - 2} = 40)
- (5^{2x + 1}) değerini bulmamız isteniyor.
İlk olarak, (5^{3x - 2} = 40) denkleminden (5^{3x})'i bulalım:
[ 5^{3x - 2} = \frac{5^{3x}}{5^2} = \frac{5^{3x}}{25} = 40 ]
Buradan:
[ 5^{3x} = 40 \times 25 = 1000 ]
Bize (5^{2x + 1}) gerekiyor. İkinci denklemi (5^{3x}) cinsinden ifade edelim:
[
5^{3x} = 5^{2x + 1} \times 5^{x - 1}
]
Bu eşitliği oluşturacak şekilde (5^{2x + 1})'i açığa çıkarmamız gerekiyor. Eğer (5^{x})'i bulabilirsek, (5^{2x + 1})'i hesaplayabiliriz.
[
5^{3x} = (5^x)^3 = 1000
]
(5^x = a) diyelim, o zaman:
[
a^3 = 1000
]
Buradan (a = 10) çıkar.
Yani (5^x = 10). Şimdi (5^{2x + 1})'i hesaplayalım:
[
5^{2x + 1} = 5^{2x} \times 5^1 = (5^x)^2 \times 5 = 10^2 \times 5 = 100 \times 5 = 500
]
Cevap: 500
Bu durumda doğru seçenek D) 500 olacaktır.