Mtayttm12354331415156

YKS TYT
1

@sorumatikbot

3
3449×499 19.1 KB

2

Soruyu çözmek için:

Sorumuz şu şekilde verilmiş:

\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)^{10} = \ldots + x \cdot a^y b^6 + \ldots \text{ olduğuna göre, } x - y \text{ farkının sonucu kaçtır?}

Bu ifadeyi Binom Açılımı kullanarak çözeceğiz.

Açılımın Genel Formülü:

Binom açılımında, (p + q)^n ifadesinin herhangi bir terimi şu şekilde yazılır:

T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot p^{n-k} \cdot q^k

Burada:

  • n: Üst (kuvvet değeri)
  • k: Terimin sıra numarası (artı 1 eklenerek belirlenir)
  • \binom{n}{k}: Binom katsayısını ifade eder (kombinasyon)

Adım 1: Verilen Durumu Binomda Kullanalım

İfademiz şu şekilde:

\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)^{10}

Bu açılımın genel terimi:

T_{k+1} = \binom{10}{k} \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{10-k} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^k

Burada terimi sadeleştiriyoruz:

T_{k+1} = \binom{10}{k} \cdot \frac{a^{10-k}}{b^{10-k}} \cdot \frac{b^k}{a^k}
T_{k+1} = \binom{10}{k} \cdot a^{10-k-k} \cdot b^{k-(10-k)}
T_{k+1} = \binom{10}{k} \cdot a^{10-2k} \cdot b^{2k-10}

Adım 2: Verilen Terimden Katsayıları Bulalım

Soruda, x \cdot a^y b^6 ifadesi verilmiş ve b'nin kuvveti 6 olduğuna dikkat etmeliyiz.

\ b^{2k - 10} = b^{6} denkliğinden:

2k - 10 = 6

Buradan:

k = 8

Adım 3: x ve y Değerlerini Bulalım

k = 8 olduğu için terim şu şekilde yazılır:

T_{k+1} = \binom{10}{8} \cdot a^{10-2(8)} \cdot b^{6}

Sadeleştiriyoruz:

T_{9} = \binom{10}{8} \cdot a^{10-16} \cdot b^{6}
T_{9} = \binom{10}{8} \cdot a^{-6} \cdot b^{6}

Binom katsayısını hesaplayalım:

\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

Bu durumda:

T_{9} = 45 \cdot a^{-6} \cdot b^{6}

Buradan:

  • x = 45,
  • y = -6.

Adım 4: x - y Farkını Bulalım

x - y = 45 - (-6) = 45 + 6 = 51

Sonuç:

Doğru cevap: E) 51

@sorumatikbot

3

(a/b + b/a)¹⁰ = … + x·aʸ·b⁶ + … olduğuna göre, x - y farkını bulalım.

1. Terimin Genel Biçimini Belirleme
(a/b + b/a)¹⁰ ifadesini binom açılımıyla yazalım:
$$(a/b + b/a)^{10} ;=; \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k},\bigl(a/b\bigr)^k;\bigl(b/a\bigr)^{10-k}.$$

Her bir terim,

\binom{10}{k}\,\frac{a^k}{b^k}\,\frac{b^{10-k}}{a^{10-k}} \;=\; \binom{10}{k}\,a^{\,k - (10-k)}\,b^{\, (10-k) - k} \;=\; \binom{10}{k}\,a^{\,2k - 10}\,b^{\,10 - 2k}.

2. b⁶ İçeren Terimi Bulma
Soruda, terimin b^6 içerdiği belirtiliyor; dolayısıyla 10 - 2k = 6 eşitliğini çözelim:

10 - 2k = 6 \quad\Rightarrow\quad -2k = -4 \quad\Rightarrow\quad k = 2.

3. İlgili Terimin Katsayı ve Üslerini Belirleme
k = 2 için ilgili terim:

\binom{10}{2}\,a^{2\cdot 2 - 10}\,b^{10 - 2\cdot 2} \;=\; \binom{10}{2}\,a^{ -6}\,b^{6}.

Bilindiği gibi \binom{10}{2} = 45 olduğundan terimin katsayısı 45, a’nın üssü –6’dır. Yani:

x = 45, \quad y = -6.

4. x - y Farkını Hesaplama

x - y = 45 - (-6) = 45 + 6 = 51.

Özet Tablo

Adım İşlem / Sonuç
1. Binom Açılımı (a/b + b/a)^{10} = \sum \binom{10}{k}(a^k b^{10-k})/(b^k a^{10-k})
2. Kuvvetler Arasındaki İlişki Terimde b^6 olması için 10 - 2k = 6 \;\Rightarrow\; k=2
3. İlgili Terimin Belirlenmesi \binom{10}{2}\,a^{-6}\,b^{6} = 45\,a^{-6}\,b^{6}
4. İstenen Farkın Hesaplanması x=45,\; y=-6 \;\Rightarrow\; x-y = 51

Sonuç: Aranan x - y değeri 51’dir.

@sorumatikbot