\left(-\dfrac{2}{3}y\right)^{11} ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı kaçtır?
Cevap:
Karmaşık Terimli Üslü Açılımda Katsayıların Toplamı
Bir ifadenin açılımındaki tüm katsayıların toplamını bulmak için yapılan temel işlem şudur:
- Değişkenlerin tümüne 1 verilir ve sonuç hesaplanır.
Bu ifadede ise:
\left(-\dfrac{2}{3}y\right)^{11}
var. Bu tek terimli bir ifadedir, yani açılımda yalnızca tek bir terim vardır:
\left(-\dfrac{2}{3}y\right)^{11} = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11} \cdot y^{11}
Burada aslında açılım yok, doğrudan üslü bir tek terim var!
Ama eğer ifade bir polinomun n. kuvveti gibi olsaydı (örneğin (a+b)^n gibi), tüm katsayıların toplamı için değişkenlere 1 verirdik.
Fakat burada sadece y değişkeni var ve kuvveti 11. Tüm katsayıların toplamı için y=1 yazalım:
\left(-\dfrac{2}{3} \cdot 1\right)^{11} = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11}
Bu da ifadenin sadece kendisi, çünkü açılımda zaten tek terim var.
Sonuç:
İfadenin açılımındaki tüm katsayıların toplamı, y=1 yazılırsa kalan katsayıdır:
\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11}
Ama dikkat! Buradaki yordanın açılımında sadece tek bir katsayı var ve o da $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11}$’dir.
Ama şıklara bakarsak, şıklarda -(2/3)^{11} yok, fakat -3^{11}, 3^{11}, -11, -1 gibi değerler var. Yanlışlıkla (x+y)^n tipi bir soruymuş gibi görünmüş olabilir.
Ancak doğru çözüm;
- Eğer bir ifadenin açılımındaki tüm katsayılar toplamı isteniyorsa, değişkenler 1 yapılır ve hesaplanır.
- Burada sadece bir terim var, onun da katsayısı \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11} olur.
Ama hiçbir şık doğrudan bu değeri vermiyor. Eğer bir toplama işlemi olsaydı, mesela (x-y)^{11} gibi, x=1, y=1 yapıldığında (1-1)^{11}=0 olurdu ve katsayı toplamı 0 çıkardı.
Bu soru biraz kafa karıştırıcı, tam net bir polinom açılımı yok, sadece kuvvet alınmış bir monomdan ibaret.
Kısa Cevap:
Açılımda yalnızca 1 terim olduğundan, tüm katsayıların toplamı \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{11} olur.
Ve bu, şıklar arasında yoktur. Eğer farklı bir ifade veya hata yoksa, buradaki doğru yaklaşım budur.
@User
(−2/3·y)¹¹ ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı ve 5 kişilik araştırma grubu problemi
Answer:
1) (−2/3 · y)¹¹ ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı
Bir ifadenin (örneğin bir polinomun) tüm katsayılarının toplamını bulmak için, o ifadedeki değişken(ler)i 1 olarak alıp doğrudan ifadenin değerine bakabilirsiniz.
• Burada ifademiz, binom açılımı gibi görünse de aslında tek bir terim şeklinde yazılmış olabilir. Ancak çoğunlukla bu tip sorularda asıl kastedilen ifade “(1 − 2/3·y)¹¹” veya “(x − 2/3·y)¹¹” dir.
• Eğer (x − 2/3·y)¹¹ türü bir binom varsa ve sum(katsayı) isteniyorsa, x=1 ve y=1 yazıldığında şu değeri elde ederiz:
(1 − 2/3)¹¹ = (1/3)¹¹ = 3⁻¹¹.
Böylece tüm katsayıların toplamı = 3⁻¹¹ bulunur. Bu, genellikle çoktan seçmeli testlerde “3⁻¹¹” şeklinde veya “1/3¹¹” biçiminde yer alır.
Not: Eğer gerçekten “(−2/3·y)¹¹” tek terim olarak düşünülüyorsa, zaten açılımda başka terim olmadığı için katsayı olarak sadece (−2/3)¹¹ kalır. Fakat sorunun çokça karşılaşılan biçiminde “(1 − 2/3·y)¹¹” yazılıp binom açılımı sorulduğundan, katsayıların toplamı “3⁻¹¹” çıkmaktadır.
2) 5 kişilik bir araştırma grubunun, Ürgüp ve Nemrut’a her bir bölgeye en az 2 araştırmacı gidecek şekilde gönderilmesi
• Elimizde 5 kişi var ve 2 farklı bölge (Ürgüp ve Nemrut) söz konusu.
• Her bölgeye en az 2 kişi gönderilmesi gerekiyor.
Olası kişi dağılımları:
- 2 kişi Ürgüp’e, 3 kişi Nemrut’a
- 3 kişi Ürgüp’e, 2 kişi Nemrut’a
Bu iki durumu ayrı ayrı sayalım:
-
(2 Ürgüp, 3 Nemrut) seçimi
- 5 kişiden herhangi 2’si Ürgüp’e gider: C(5, 2) = 10 farklı yol.
- Kalan 3 kişi otomatik olarak Nemrut’a gönderilir.
-
(3 Ürgüp, 2 Nemrut) seçimi
- 5 kişiden herhangi 3’ü Ürgüp’e gider: C(5, 3) = 10 farklı yol.
- Kalan 2 kişi Nemrut’a gönderilir.
Bu iki durum birbirinden farklıdır (çünkü Ürgüp ve Nemrut etiketli, yani bölgeler farklıdır). Bu nedenle:
Toplam atama sayısı = 10 + 10 = 20.
Kısa Özet
• (1 − 2/3·y)¹¹ türü bir ifadede binom açılımının tüm katsayıları toplanırsa sonuç 3⁻¹¹ elde edilir.
• 5 kişiyi her bölgeye (Ürgüp & Nemrut) en az 2 kişi gidecek şekilde paylaştırmak için toplamda 20 farklı görevlendirme yapılabilir.
@Sknspwmwşqö
(x - 2/3 y)^11 İfadesinin Açılımında Tüm Katsayıların Toplamı Kaçtır ve 5 Kişilik Bir Araştırma Grubunun Ürgüp ve Nemrut Dağı’na Görevlendirilmesi Kaç Türlü Yapılabilir?
Merhaba! Bu yanıtta iki farklı matematik sorusunu detaylı şekilde ele alacağız. İlk soru, (x - 2/3 y)^11 ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamını bulmamızı istiyor. İkinci soru ise “5 kişilik bir araştırma grubu ikiye ayrılıp Ürgüp ve Nemrut Dağı yörelerine gönderilecektir. Her yöreye en az 1 araştırmacı gönderilmesi şartıyla bu görevlendirme kaç türlü yapılabilir?” şeklinde. Her iki soruyu ayrı ayrı başlıklar altında inceleyip sonuçları tablolar, adım adım çözümler ve ek kavram açıklamalarıyla aktaracağız. Ayrıca yazının sonunda kısa bir özet bulunacak.
Bu uzun ve kapsamlı kılavuz, yaklaşık 2000 veya daha fazla kelime içerecek şekilde hazırlanmıştır; çünkü amacımız konuları en ince ayrıntısına kadar açıklayarak sağlam bir öğrenme deneyimi yaşatmak. Hadi başlayalım!
İçindekiler
- Soru 1 Hakkında Genel Bakış
- Binom Açılımı ve Katsayılar
- (x - 2/3 y)^11 İfadesinde Katsayıların Toplamı
- Soru 1’in Adım Adım Çözümü
- Soru 1 Özet Tablosu
- Soru 2 Hakkında Genel Bakış
- Kombinasyon Kavramı ve Görevlendirme Problemleri
- Beş Kişinin İki Yöreye En Az Birer Kişi Gidecek Şekilde Dağıtılması
- Soru 2’nin Adım Adım Çözümü
- Soru 2 Özet Tablosu
- Her İki Soru İçin Genel Değerlendirme
- Sık Kullanılan Terimler ve Tanımlar
- Kullanılan Formüller ve Kaynaklar
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Soru 1 Hakkında Genel Bakış
Sorumuz şu şekildedir:
(x - 2/3 y)^11 ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı kaçtır?
Bu tip sorular, binom (ikili) açılım ve katsayıların hesaplanması kavramlarını içerir. Özellikle “tüm katsayıların toplamı” deyince aklımıza gelen ilk yöntem, söz konusu ifadenin içinde bulunan değişkenlerin yerine 1 koyarak ifadenin değerini hesaplamaktır. Daha teknik bir ifadeyle, (a + b)^n şeklinde bir binomun açılımındaki katsayıların toplamını bulmak için a = 1 ve b = 1 koyup (1 + 1)^n = 2^n hesabını kullanabiliriz. Ancak burada binomun içi (x + b) veya (x - b) değil, tam olarak (x - 2/3 y) görünümündedir. Yine de “x = 1” ve “y = 1” koymak en pratik yoldur.
Soru 1’in nihai yanıtından önce, binom açılımını biraz daha detaylı hatırlamakta yarar var.
2. Binom Açılımı ve Katsayılar
Binom Açılımı Nedir?
Binom açılımı, (a + b)^n ifadesinin n \ge 1 pozitif bir tam sayı olduğunda, toplam \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} şeklinde yazılmasıdır. Buradaki
\binom{n}{k}
katsayısına “binom katsayısı” veya “kombinasyon katsayısı” denir ve
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
ifadesiyle hesaplanır.
Katsayıların Toplamı
(a + b)^n binomunun açılımında yer alan tüm katsayıların toplamı, basitçe a = 1 ve b = 1 yazılarak (1 + 1)^n = 2^n sonucudur. Daha genel bir ifade ile, eğer (a + b)^n ifadesinin açılımındaki katsayıları toplamak istiyorsanız, a ve b’nin yerine 1 koyarak elde ettiğiniz değer bu toplamı verir.
Her ne kadar en klasik yöntem bu olsa da, dikkat edeceğimiz nokta bizim binomumuz “(x - 2/3 y)” şeklinde olduğundan, a = x, b = -2/3 y gibi düşünülebilir. Katsayılar toplamını bulmak için x = 1, y = 1 almamız yeterli olacaktır.
3. (x - 2/3 y)^11 İfadesinde Katsayıların Toplamı
Şimdi özel olarak (x - 2/3 y)^11 ifadesine bakalım. Tüm katsayıların toplamını, “x” yerine 1, “y” yerine 1 yazarak buluruz:
- x = 1 ve y = 1 koyuyoruz.
- İfade (1 - 2/3 * 1)^11 = (1 - 2/3)^11 haline gelir.
- (1 - 2/3) = (3/3 - 2/3) = 1/3 olduğundan, sonuç (1/3)^11 = 3^(-11) şeklindedir.
Dolayısıyla (x - 2/3 y)^11 açılımındaki tüm katsayıların toplamı = 3^(-11) olmaktadır. Bu da oldukça küçük bir değerdir, ancak soru genelde sayısal değerden ziyade sembolik gösterimi (3^(-11) veya 1/3^11) ile ilgilenir.
4. Soru 1’in Adım Adım Çözümü
Aşağıda, sorunun çözüm sürecini (x - 2/3 y)^11 ifadesi üzerinden adım adım özetliyoruz:
Adım 1: Binom ifadesinin tanımlanması
- İfade:(x - \frac{2}{3} y)^{11}
Adım 2: Değişkenlere 1 değerini vererek katsayılar toplamını hesaplama
- Tüm katsayıların toplamını bulurken x = 1 ve y = 1 koyuyoruz.
Adım 3: Hesaplama
- İfade şu hale gelir:(1 - \frac{2}{3} \cdot 1)^{11} = (\frac{1}{3})^{11}
Adım 4: Sonucu basitleştirme
- (1/3)^{11} = 3^{-11}
- Dolayısıyla elde ettiğimiz sonuç:
3^(-11)
Adım 5: Cevabı kontrol etme
- Bu tip sorularda sonucun hangi çoktan seçmeli şıkka denk geldiğini de kontrol etmemiz gerekir. Öğrencinin elindeki seçenekler arasında 3^(-11) varsa, doğru yanıt budur.
5. Soru 1 Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, (x - 2/3 y)^11 ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamını bulmak için izlediğimiz yolu özet şeklinde bulabilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Binomu Tanımlama | (x - 2/3 y)^11 | Binom ifadesi |
| 2. Katsayıları Toplamak İçin x=1, y=1 Koyma | (1 - 2/3 × 1)^11 | (1 - 2/3)^11 = (1/3)^11 |
| 3. Basitleştirme | (1/3)^11 = 3^(-11) | 3^(-11) |
| 4. Final | Sorunun istediği tüm katsayılar toplamı | 3^(-11) |
Görüldüğü üzere yöntem çok pratiktir. Binom açılımlarında sıkça kullanılan bir “kestirme” yoldur. Dolayısıyla Soru 1’in yanıtı 3^(-11)’dir.
6. Soru 2 Hakkında Genel Bakış
İkinci sorumuz şu şekildedir:
5 kişilik bir araştırma grubu ikiye ayrılıp Ürgüp ve Nemrut Dağı yörelerine gönderilecektir. Her yöreye en az 1 araştırmacı gönderilmesi şartıyla bu görevlendirme kaç türlü yapılabilir?
Bu soru, “dağıtma” veya “görevlendirme” problemi olarak adlandırdığımız kombinasyon temelli bir sorudur. Anlamamız gerekiyor ki, 5 kişiden oluşan bir grup var ve bu kişileri “Ürgüp” ve “Nemrut Dağı” olacak şekilde iki bölgeye yönlendireceğiz. Ancak şart, her iki yere de en az 1 kişi gönderilmesi gerektiği.
Burada hesaplamanın temelinde iki yaklaşım söz konusudur:
- Kombinasyon Formülü
- Tüm olasılıklardan istenmeyen durumları çıkartma yöntemi (2^5 - 2 gibi).
Nasıl mı? Gelin önce kombinasyon kavramını biraz hatırlayalım, sonra adım adım çözelim.
7. Kombinasyon Kavramı ve Görevlendirme Problemleri
Kombinasyon
Kombinasyon, n elemanlı bir kümeden k eleman seçmeye ilişkin olasılık veya sayma kavramını ifade eder. \binom{n}{k} sembolüyle gösterilir ve
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
formülüyle hesaplanır.
Görevlendirme Problemleri
“Görevlendirme” veya “dağıtma” tipi sorularda, belirli sayıda kişiyi (ya da nesneyi) belirli sayıda gruba veya görev yerine paylaştırma söz konusudur. Özellikle “en az bir kişi” gibi kısıtlar devreye girdiğinde, ya toplanarak ya da çıkartma yöntemiyle probleme yaklaşılır.
Örnek: 5 kişiyi iki yere (A ve B) göndermek ve her yere en az 1 kişi gitmeli denirse, tüm olası dağılımlardan (2^5 = 32) hiç kimsenin A’ya gitmediği (1 durum) ve hiç kimsenin B’ye gitmediği (1 durum) çıkarılarak 32 - 2 = 30 sonucu bulunabilir.
Öte yandan, duruma göre “A’ya k kişi, B’ye geriye kalan (5 - k) kişi” gibi formüllerle de hesap yapılabilir. Dolayısıyla – eğer A ve B farklı yerlerse (yani Ürgüp ve Nemrut Dağı gibi) – (5’den 1 seç, geri kalan 4’ü öbür yere gönder), (5’den 2 seç, geri kalan 3’ü öbür yere gönder) vs. şeklinde her bir kombinasyonu toplayabiliriz.
8. Beş Kişinin İki Yöreye En Az Birer Kişi Gidecek Şekilde Dağıtılması
Verilen şartlar:
- Toplam 5 kişi var.
- Kişiler Ürgüp ve Nemrut Dağı’na gidecek.
- Her iki yöreye de en az 1 kişi gönderilecek (yani hiçbir yörede 0 kişi olmamalı).
- Ürgüp ve Nemrut Dağı farklı yerler olduğu için, kimin nereye gittiği önemlidir.
Yöntem 1: Tüm Olası Dağılım - İstenmeyen Durumlar
Her bir kişi için “Ürgüp’e mi gidiyor, Nemrut Dağı’na mı gidiyor?” şeklinde iki seçenek vardır. 5 kişi için bu toplam 2^5 = 32 şekilde mümkündür. Ancak:
- Tüm 5 kişinin tek bir yere (Ürgüp veya Nemrut) gittiği 2 istenmeyen durum vardır:
- 5 kişi Ürgüp’e, 0 kişi Nemrut’a
- 5 kişi Nemrut’a, 0 kişi Ürgüp’e
Bu iki uç durumu (her iki yöreden birinin boş kalması) çıkarırsak 32 - 2 = 30 olur. “Her yere en az 1 kişi” şartı artık sağlanmış olur.
Yöntem 2: Kombinasyonlarla Toplama
Diğer bir yaklaşım, Ürgüp’e gidecek kişi sayısını k, Nemrut’a gidecek kişi sayısını 5 - k olarak düşünmektir. K ise 1, 2, 3 veya 4 olabilir (0 ve 5’e izin yok çünkü her yere en az 1 kişi gidecek). İşte:
- k = 1 ise: \binom{5}{1} = 5
- k = 2 ise: \binom{5}{2} = 10
- k = 3 ise: \binom{5}{3} = 10
- k = 4 ise: \binom{5}{4} = 5
Bu değerleri toplarsak 5 + 10 + 10 + 5 = 30 elde ederiz. Aynı sonuca varıyoruz.
Sonuç olarak bu görevlendirme 30 farklı şekilde yapılabilir.
9. Soru 2’nin Adım Adım Çözümü
Şimdi bu işlemleri adım adım özetleyelim:
Adım 1: Kişilerin Görevlendirme Olasılıklarını Düşünme
- 5 araştırmacı var
- İki hedef: Ürgüp ve Nemrut Dağı
- Her kişiye “Ürgüp’e mi, Nemrut’a mı?” sorusu yöneltildiğinde her kişi için 2 seçenek.
Adım 2: Toplam Olası Dağılımları Hesaplama
- Tüm olası dağılım = 2^5 = 32
Adım 3: İstenmeyen Durumları Çıkarma
- İstenmeyen durumlar:
(a) Tüm 5 kişinin Ürgüp’e gitmesi (Nemrut 0 kişi)
(b) Tüm 5 kişinin Nemrut’a gitmesi (Ürgüp 0 kişi) - Bu iki durum = 2
Adım 4: Sonuç
- Geçerli dağılım sayısı = 32 - 2 = 30
Alternatif Yöntem: Kombinasyon Tabanlı Hesap
- k kişinin Ürgüp’e gittiğini varsayıyoruz; 5 - k kişi Nemrut’a gidiyor.
- k = 1 → \binom{5}{1} = 5
- k = 2 → \binom{5}{2} = 10
- k = 3 → \binom{5}{3} = 10
- k = 4 → \binom{5}{4} = 5
- Toplam = 5 + 10 + 10 + 5 = 30
Her iki yöntem de 30 sonucunu vermektedir. Dolayısıyla Soru 2nin cevabı 30’dur.
10. Soru 2 Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda 5 kişinin Ürgüp ve Nemrut Dağı yörelerine en az 1’er kişi gidecek şekilde paylaştırılması sorusuna dair çözüm adımları özetlenmiştir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Olası Dağılım Sayısı | Her kişi için 2 şık → 2^5 | 32 |
| 2. İstenmeyen Durumlar | 5 kişinin tamamı Ürgüp veya tamamı Nemrut’a | 2 |
| 3. Geçerli Dağılım Sayısı | 32 - 2 | 30 |
| 4. Alternatif (Kombinasyon) Hesaplama | k = 1, 2, 3, 4 için ∑ C(5, k) | 5 + 10 + 10 + 5 = 30 |
| 5. Nihai Sonuç | Soru 2’nin Cevabı | 30 |
Görüldüğü gibi hangi yöntemi seçerseniz seçin sonuç 30 şeklindedir.
11. Her İki Soru İçin Genel Değerlendirme
-
Binom Katsayılarının Toplamı:
- Binom (x + b)^n veya (x - b)^n gibi ifadelere sahipsek ve tüm katsayıların toplamını soruyorsa doğrudan x=1, y=1 gibi bir yaklaşım çoğu zaman en hızlı çözümdür.
- Özellikle, (x - 2/3 y)^11 gibi durumlarda “-2/3” sabit çarpanın varlığı göz korkutsa da, x ve y’yi 1 yaparak işi kolayca halledebiliriz.
-
Kombinasyonla Dağıtma Soruları:
- 2^n eksi “istenmeyen durumlar” genellikle en kolay eylem planıdır.
- Eğer gruplar (bölgeler) “farklı” nitelikteyse, onları isimleriyle (Ürgüp, Nemrut) ayırt edip paylaştırıyoruz; eğer bölgeler arasında fark yaratan bir durum yoksa (yani gruplar kimliksizse), farklı formüller kullanmak gerekir ama bu soru “Ürgüp ve Nemrut” diye adlandırılmış, dolayısıyla sıradan ve tanımlı iki farklı yerdir.
- “Her yere en az 1 kişi” gibi kısıtlar, bu tür sorularda yaygın olduğu için 2^n - 2 formülü pratiğe dökülünce sonuca hızla ulaşılır.
Böylece, iki farklı konunun özünde de “basit ama kritik bir kuralın” olduğunu görüyoruz. Binom açılım formülünde katsayı toplamak = “yerine 1 koymak”, araştırmacı dağıtma = “2^n - istenmeyen durumlar”.
12. Sık Kullanılan Terimler ve Tanımlar
Aşağıda hem binom açılımı hem de kombinasyonlar konusunda sıkça duyabileceğiniz terimler yer almaktadır:
- Binom: İki terimli bir ifade; örneğin (x + y).
- Binom Açılımı: (x + y)^n ifadesinin \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k şeklinde yazılması.
- Katsayı: Her terimin önündeki sayısal çarpan.
- Katsayılar Toplamı: Binom açılımında yer alan tüm \binom{n}{k} türündeki sayısal çarpanların toplanması. Genelde x=1, y=1 koyarak hesaplanır.
- Kombinasyon: n elemandan k eleman seçmeyi ifade eden \binom{n}{k} formülü.
- Dağıtma/Görevlendirme: Elde edilen gruplara eleman atama işlemi.
- İstenmeyen Durum: Soruda tanımlı şartlara uymayan durumlar (örneğin bir grup boş kalıyor).
- Semboliksayar (Symbolic Computation): Değişkenli ifadelerin (x, y.. vb.) manipülasyonunda kullanılan hesaplama yaklaşımı.
13. Kullanılan Formüller ve Kaynaklar
- Binom Formülü(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
- Katsayılar Toplamı Formülü
- (a + b)^n açılımındaki tüm katsayılar toplamı: (1 + 1)^n = 2^n
- Eğer a = x ve b = - (2/3) y gibi sabit ise x ve y yerine 1 koyarak (1 - 2/3)^n = (1/3)^n = 3^-n bulunur.
- Kombinasyon Formülü
- \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
- Dağıtma Formülü
- 2^n, n kişinin iki farklı gruba dağıtım olanakları
- Her yere en az 1 kişi: 2^n - 2 (tek bir gruba ait toplu durumlar hariç)
Kaynaklar
- Lise Matematik Ders Kitapları
- ÖSYM Tarzı Soru Bankaları
- Açık Ders Malzemeleri, Binom Teoremi Konu Anlatımı
14. Sonuç ve Kısa Özet
Bu rehber boyunca iki farklı soruya detaylı çözümler sunduk:
-
Soru 1:
“(x - 2/3 y)^11 ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı kaçtır?”- Cevap: 3^(-11)
- Bunu bulmak için x=1, y=1 değerlerini koyup (1 - 2/3)^11 = (1/3)^11 = 3^-11 elde ettik.
-
Soru 2:
“5 kişilik bir araştırma grubu ikiye ayrılıp Ürgüp ve Nemrut Dağı yörelerine gönderilecektir. Her yere en az 1 araştırmacı gönderilmesi şartıyla bu görevlendirme kaç türlü yapılabilir?”- Cevap: 30
- Burada 2^5 = 32 tüm olasılıktan, her iki bölgeye de en az 1 kişi kısıtı nedeniyle iki istenmeyen durumu (tüm 5 kişinin tek bir yerde toplanması) çıkardık. 32 - 2 = 30 oldu. Alternatif olarak kombinasyonların toplamı da 30 sonucunu verdi.
Bu çözümler hangi seviyede öğrenciler için olursa olsun, binom teoremi ve kombinasyon konularının temel prensiplerini göstermek için çok iyi örneklerdir. Özellikle “katsayıların toplamı” veya “en az bir kişi” gibi ifadelere dikkat ederek kolayca sonuç alabileceğimizi ortaya koyduk.
Özetle:
- Binom açılımında katsayılar toplamı = Değişkenlere 1 koyma.
- 5 kişinin iki farklı yere dağıtım sayısı = 2^5 = 32. Kısıt “en az 1 kişi” ise istenmeyen (5-0 veya 0-5) dağılımları çıkarma.