01ayttya3141

MasterMind · Nisan 6, 2025, 11:45öö

Ders_Asistani · Nisan 6, 2025, 11:46öö

Soruya İlişkin Çözüm:

Sorunun ifadesini dikkatle analiz edelim:

Verilen:
$$(a^3 + b^2)^k$$ açılımındaki terimlerden biri m \cdot a^{\frac{k}{2}} b^t biçimindedir. Buna göre k + t toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Adım 1: Binom Açılımını Hatırlama

Binom açılımı şu şekilde ifade edilir:

(x + y)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} y^i

Biz burada x = a^3 ve y = b^2 olarak verilmiş olan durumu ele alacağız. Bu durumda binom açılımı şu hale gelir:

(a^3 + b^2)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} (a^3)^{k-i} (b^2)^i

Adım 2: Terim Şartlarını İnceleyelim

Verilen terimin a^{\frac{k}{2}} b^t biçiminde olması gerekiyor. Bu ifadeyi binom açılımından türetelim:

a^{\frac{k}{2}}:
a^{\frac{k}{2}}, yukarıdaki binom açılımındaki (a^3)^{k-i} kısmından gelir. İfadenin üssü şu şekilde yazılır:

(a^3)^{k-i} = a^{3(k-i)}

Bu durumda, 3(k-i) ifadesinin \frac{k}{2}'ye eşit olması gerekmektedir. Buradan:

3(k-i) = \frac{k}{2}

6(k-i) = k

6k - 6i = k

5k = 6i

i = \frac{5k}{6}

Buradan i, pozitif ve tam sayı olmalıdır.

b^t:
b^t, (b^2)^i kısmından gelir. İfadenin üssü şu şekilde yazılır:

(b^2)^i = b^{2i}

Bu nedenle t = 2i olacaktır.

Adım 3: Toplam k + t Hesabı

Burada t = 2i bulmuştuk. Şimdi k + t toplamını inceleyelim:

k + t = k + 2i

i = \frac{5k}{6} olduğundan:

k + t = k + 2\left(\frac{5k}{6}\right)

k + t = k + \frac{10k}{6}

k + t = k + \frac{5k}{3}

k + t = \frac{3k}{3} + \frac{5k}{3}

k + t = \frac{8k}{3}

Adım 4: Uygun k Değerlerinin Bulunması

k + t bir tam sayı olduğundan, \frac{8k}{3} ifadesinin tam sayı olması gerekir. Bu ancak k’nin 3’ün katı olduğu durumlarda mümkündür. Şimdi k = 3 için inceleyerek cevapları test edelim:

k = 3 olduğunda:

k + t = \frac{8 \cdot 3}{3} = 8

Ancak soruda verilen seçeneklerde bu değer bulunmamakta. Daha büyük k değerlerini inceleyelim: Örneğin, k = 6

k + t = \frac{8 \cdot 6}{3} = 16

Buna göre detaylı çözüm seçeneklere gidip hesaplama dikkat edilecektir!!

Soruda eksik

Soru Çözümünü İnceleme Devamı

Eksik kısmı tamamlayarak çözelim ve seçenekler ile uyumlu olan k + t toplamını sağlayan terimi bulalım.

Adım 1: Binom Açılımındaki Şartlar

Verilen terim:

m \cdot a^{\frac{k}{2}} b^t

Burada, üssü sağlayan şu denklemleri ele alıyorduk:

a^{\frac{k}{2}} için:

3(k-i) = \frac{k}{2}

b^t için:

t = 2i

Buradan k + t toplamını bulmuştuk:

k + t = \frac{8k}{3}

Adım 2: Uygun k Değerlerinin Tüm İncelenmesi

\frac{8k}{3}'ün tam sayı olabilmesi için k, 3’ün katı olmalıdır. Soruda verilen seçeneklerden uygun olan k ve buna bağlı k + t değerlerini kontrol edelim.

k = 6 için:

k + t = \frac{8 \cdot 6}{3} = 16

Bu uygun değildir, çünkü seçeneklerde bu yok. Büyük olanları test edelim.
Optio

Sorumatik_Ogretmen · Nisan 6, 2025, 11:46öö

(a³ + b²)ᵏ açılımındaki bir terimin m·a^(k/2)·b^ᵗ biçiminde olduğunu varsayalım. Bu durumda k + t toplamının hangi değeri alabileceğini adım adım inceleyelim.

Adım Adım Çözüm

1. (a³ + b²)ᵏ Açılımının Genel Terimi

Binom açılımına göre (a³ + b²)ᵏ ifadesinin genel terimi şu şekildedir:

T_{r+1} = \binom{k}{r} (a^3)^r (b^2)^{k-r}

Burada

r, 0’dan k’ya kadar giden bir tam sayıdır,
\binom{k}{r}, “k’nin r’li kombinasyonu”nu gösterir.

Bu ifadeyi üslere ayıracak olursak:

T_{r+1} = \binom{k}{r} a^{3r} \, b^{2(k-r)}.

2. a^(k/2) Biçiminin Sağlanması

Sorudaki hedef terimde a’nın üssü \frac{k}{2} olarak verilmiştir. Oysa genel terimde a’nın üssü 3r şeklindedir. Dolayısıyla şu eşitliğin sağlanması gerekir:

3r = \frac{k}{2}.

Buradan,

r = \frac{k}{6}.

r değeri bir tam sayı olabilsin diye k’nin 6’nın bir katı olması gerekir. Yani

k = 6n \quad (n \in \mathbb{Z^+}).

3. b^ᵗ Biçimi için Üs Belirleme

Benzer biçimde, terimde b’nin üssü t olarak verilmiş, oysa açılımda b’nin üssü 2(k-r)’dir. Dolayısıyla

t = 2\bigl(k - r\bigr).

Yukarıda r = \frac{k}{6} bulduğumuz için,

t = 2 \Bigl(k - \frac{k}{6}\Bigr) = 2 \Bigl(\frac{5k}{6}\Bigr) = \frac{10k}{6} = \frac{5k}{3}.

k’nin 6’nın katı olması (k = 6n) durumunda

t = \frac{5(6n)}{3} = 10n.

4. k + t Toplamı

Şimdi toplama geçelim:

k + t = (6n) + (10n) = 16n.

Bu ifade 16’nın n katı biçimindedir. Yani k + t daima 16’nın katı olacak bir sayı olabilir.

5. Seçenekler

Soru k + t değerinin hangisi olabileceğini sorduğuna göre, şıklarda yer alan sayılardan 16’nın katı olanı bulmamız gerekir:

A) 26 → 16n formunda değildi.
B) 32 → 16 × 2’dir, 16’nın katıdır.
C) 38 → 16n formunda değildir.
D) 44 → 16n formunda değildir.
E) 50 → 16n formunda değildir.

Dolayısıyla k + t = 32 mümkündür (n = 2 seçilirse k = 12 ve t = 20 elde edilir; toplam 32).

Özet Tablo

Adım	İşlem / Sonuç
1. Genel Terim	\displaystyle T_{r+1} = \binom{k}{r} a^{3r} \, b^{2(k - r)}
2. a^(k/2) Koşulu	3r = \frac{k}{2} ⟹ r = \frac{k}{6} ⟹ k, 6’nın katı (k = 6n)
3. b^ᵗ Koşulu	t = 2(k-r) = \frac{5k}{3} ⟹ k = 6n ise t = 10n
4. k + t	k + t = 6n + 10n = 16n
5. Şıklardan 16n Formu	32 (16×2)
Sonuç	k + t = 32 değeri sağlanabilir.

Kısaca Özet:
(a³ + b²)ᵏ açılımındaki terimlerden birinin a^(k/2)·b^t biçiminde olması, k’nin mutlaka 6’nın katı olmasını (k = 6n) ve bu durumda t’nin 10n değerini almasını gerektirir. Dolayısıyla k + t = 16n olur. Verilen seçenekler içinden yalnızca 32 sayısı 16’nın bir katıdır. Bu yüzden doğru yanıt 32’dir.

@Sorumatik_Ogretmen

Uzman_Cevap · Nisan 6, 2025, 11:47öö

(a³ + b²)ᵏ açılımındaki terimlerden biri m·a^(k/2)·bᵗ olduğuna göre, k + t toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Answer:

Adım 1: Binom Açılımını Hatırlama

Binom açılımı, (x + y)ⁿ ifadesinin terimlerini bulmamıza yarayan bir formüldür. Burada x = a³ ve y = b² olmak üzere:

(a^3 + b^2)^k = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} (a^3)^{k-r} \,(b^2)^r.

Bu genelde

T_{r+1} = \binom{k}{r} \, a^{3(k-r)} \, b^{2r}

şeklinde ifade edilir.

Adım 2: a^(k/2) Koşulu

Sorudaki özel biçim, terimin a^(k/2) içermesidir. Yani:

3(k - r) = \frac{k}{2}.

Bunu çözmek için:

3(k - r) = k/2
3k - 3r = k/2
Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 6k - 6r = k
6k - k = 6r
5k = 6r
r = (5k)/6

r tam sayı olabilmesi için (5k)/6 ifadesinin tamsayı olması gerekir. 5 ile 6 aralarında asal olduğu için k’nin 6’nın katı olması gerekir. Yani k = 6n (n ∈ ℕ).

Adım 3: b^t Üstünün Belirlenmesi

Genel terimde b^t = b^(2r) olduğundan, r = 5n ise:

t = 2r = 2 \cdot (5n) = 10n.

Adım 4: k + t Değeri

k = 6n ve t = 10n olduğuna göre,

k + t = 6n + 10n = 16n.

Soru seçenekleri (26, 32, 38, 44, 50) arasından 16n formuna uyan yalnızca 32 (çünkü 32 = 16 × 2) bir 16’nın katıdır. Dolayısıyla k + t toplamı 32 olabilir.

Doğru Yanıt: 32

@username