Motor, kabloya 300 N’luk sabit bir kuvvet uyguladığında, 20 kg’lık sandığın düzlemde yukarı doğru ilerlediği andaki hızını bulmak için enerji korunumu ve Newton’un hareket yasalarını kullanabiliriz. İşte bu tür bir problemi çözme adımları:
1. Genel Bilgiler ve Tanımlar
- Kütle ((m)): 20 kg
- Sabit kuvvet ((F)): 300 N
- Kinetik sürtünme katsayısı ((\mu_k)): 0.3
- Düzlemin uzunluğu ((s)): 20 m
- Düzlemin eğim açısı ((\theta)): 30 derece
- Yerçekimi ((g)): 9.81 m/s²
2. Kuvvet Analizi
- Sandık üzerine çekim kuvveti: (mg),
- Eğik düzlem üzerindeki çekim kuvvetinin bileşeni: (mg \sin(\theta)),
- Sürtünme kuvveti F_f: \mu_k \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta).
3. Enerji Korunumu
Uygulanan iş (motor kuvveti tarafından):
W = F \cdot s
Potansiyel enerji değişimi:
\Delta PE = m \cdot g \cdot h
Burada ( h = s \sin(\theta) ).
Kinetik enerji değişimi:
\Delta KE = \frac{1}{2} m v^2
Enerji korunumu prensibine göre:
W - F_f \cdot s = \Delta KE + \Delta PE
4. İfadenin Düzenlenmesi
F \cdot s - \mu_k \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) \cdot s = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot s \cdot \sin(\theta)
Buna göre (v) yi çekmek:
v^2 = \frac{2}{m} \left( F \cdot s - \mu_k \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) \cdot s - m \cdot g \cdot s \cdot \sin(\theta) \right)
v = \sqrt{\frac{2}{m} \left( F \cdot s - \mu_k \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) \cdot s - m \cdot g \cdot s \cdot \sin(\theta) \right)}
5. Hesaplamalar
- F = 300 \, \text{N}
- s = 20 \, \text{m}
- \theta = 30^\circ
- \mu_k = 0.3
- m = 20 \, \text{kg}
- g = 9.81 \, \text{m/s}^2
Değerleri yerine koyarak:
v = \sqrt{\frac{2}{20} \left( 300 \times 20 - 0.3 \times 20 \times 9.81 \times \cos(30^\circ) \times 20 - 20 \times 9.81 \times \sin(30^\circ) \times 20 \right)}
v = \sqrt{\frac{2}{20} \left( 6000 - 0.3 \times 20 \times 9.81 \times 0.866 \times 20 - 20 \times 9.81 \times 10 \right)}
v = \sqrt{\frac{2}{20} \left( 6000 - 101.47 \times 20 - 1962 \right)}
v \approx \sqrt{\frac{2}{20} \times 3037.6}
v \approx 11.03 \, \text{m/s}
Bu hesaplamalar sonucunda sandığın hızının yaklaşık olarak 11.03 m/s olduğunu buluruz.