Verilen işlemin sonucu nedir?
Cevap:
Verilen işlem:
[
\left(\frac{1}{2} - 1\right) \cdot \left(\frac{1}{3} - 1\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - 1\right) \cdots \left(\frac{1}{20} - 1\right)
]
Bu işlemi adım adım çözelim.
Çözüm Adımları:
-
Rasyonel İfadeleri Sadeleştirme:
Her bir terimi basitçe şu şekilde yazabiliriz:
\frac{1}{n} - 1 = \frac{1 - n}{n} = \frac{-(n-1)}{n} = -\frac{n-1}{n} -
Çarpımların Düzenlenmesi:
İlk terimden son terime kadar olan çarpımı oluşturuyoruz:
\prod_{n=2}^{20} \left( -\frac{n-1}{n} \right) = (-1)^{19} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 18}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 20} -
Sadeleştirme:
Pay ve payda arasında çarpımda birçok terim ortak. Sadece kalan terimleri inceleyelim.
Üstte kalan terim: 1
Altta kalan terim: 20
Dolayısıyla çarpım:
(-1)^{19} \cdot \frac{1}{20} = -\frac{1}{20}
Sonuç, B seçeneği olan (-\frac{1}{20})'dir.
Cevap: B) (-\frac{1}{20})