[ \left(\frac{1}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{1}{3}-1\right) \cdot \left(\frac{1}{4}-1\right) \cdot \left(\frac{1}{5}-1\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{1}{20}-1\right) ] işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Adım 1: Her bir parantezin içini hesaplayalım
\frac{1}{2} - 1 = \frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2}
\frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3}
\frac{1}{4} - 1 = \frac{1-4}{4} = -\frac{3}{4}
\frac{1}{5} - 1 = \frac{1-5}{5} = -\frac{4}{5}
\ldots
\frac{1}{20} - 1 = \frac{1-20}{20} = -\frac{19}{20}
Adım 2: Tüm sonuçları çarpalım
\left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac{19}{20} \right)
Adım 3: Negatif işaretlerin toplamını hesaplayalım
Negatif işaretler (eksi işaretleri) çarpıldığında, 19 tane negatif işaret artı işarete dönüşecektir. Çünkü:
Bir çift sayıda negatif işaret artı işaret olur, bir tek sayıda negatif işaret ise eksi işaret olarak kalır.
Adım 4: Kesirleri sadeleştirelim
\left( -\frac{1}{2} \cdot -\frac{2}{3} \cdot -\frac{3}{4} \cdot -\frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot -\frac{19}{20} \right)
Burada her payda ve paydanın aynı sayı olduğu görülmektedir ve tüm sayılar sırasıyla çarpma işlemi yapılacaktır. Kesiri açarsak:
-\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 19}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 20}
Kesirleri sadeleştirirsek ve çarpanları yakalarsak:
- \frac{19!}{20!} = - \frac{1}{20}
Sonuç
Doğru cevap, -\frac{1}{20}'dir ve bu da B şıkkı olmuş olur.
1 Like