Eşitlikler ve Oran Sorusu
Verilenler
Pozitif gerçel sayılar (x) ve (y) için:
- (3x^2 - 2y^2 = 12)
- (x^2 + 4y^2 = 18)
İstenen
(\frac{x}{y}) oranının kaç olduğu.
Çözüm:
Adım 1: İlk Denklemi Düzenle
Denklem (3x^2 - 2y^2 = 12) üzerinde yoğunlaşalım.
Adım 2: İkinci Denklemi Düzenle
Denklem (x^2 + 4y^2 = 18) üzerinde yoğunlaşalım.
Adım 3: Oran Bulma
Her iki denklemi kullanarak (\frac{x}{y}) oranını bulalım.
:::
-
(3x^2 = 12 + 2y^2)
(x^2 = \frac{12 + 2y^2}{3})
-
(x^2 = 18 - 4y^2)
Equate x² values from both equations.
$$\frac{12 + 2y^2}{3} = 18 - 4y^2$$
Solve for y²
-
Cross-multiplying gives:
$$12 + 2y^2 = 54 - 12y^2$$
-
Rearranging terms:
$$14y^2 = 42$$
-
Dividing by 14:
$$y^2 = 3$$
Find x² using y² value
Substitute (y^2 = 3) into one of the equations, say, (x^2 = 18 - 4y^2):
-
(x^2 = 18 - 4 \times 3)
-
(x^2 = 18 - 12)
-
(x^2 = 6)
Calculate (\frac{x}{y})
Now use (\frac{x}{y}) where (x^2 = 6) and (y^2 = 3):
-
(x = \sqrt{6}), (y = \sqrt{3})
-
(\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2})
Final Answer:
(\frac{x}{y} = \sqrt{2})
Cevap: B) (\sqrt{2})