Soru(lar): Fotoğraftaki şekil ve bilgiler kullanılarak (1) kare kartondan dik üçgen parçası kesilmesiyle elde edilen bölgenin alanı, (2) dikdörtgen karton üzerine yapıştırılan üç kareden sonraki kalan kahverengi kartonun alanı ve (3) bilet sırasındaki kişilerin konumlarıyla ilgili cebirsel ifadeleri bulunuz.
1) Kare Kartondan Üçgen Kesilmesiyle İlgili Alan Hesabı
Şekil I’de:
- Kare şeklindeki kartonun kenar uzunluğu:
[
3x + 2
] - Bu kartondan dik kenarları bilinen bir dik üçgen parçası kesilip çıkartılıyor.
- Dik üçgenin alan formülü:
[
\text{Alan} = \frac{\text{(dik kenar)} \times (\text{dik kenar})}{2}
]
Genel strateji:
- Karenin alanını hesapla:
[
(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4
] - Kesilen dik üçgenin alanını hesapla (dik kenarları şekilden okunur).
- Kalan şeklin alanını bulmak için kare alanından üçgen alanını çıkar.
Ne yazık ki resimde üçgenin dik kenar değerleri tam seçilemiyor. Eğer dik kenarlar sırasıyla ((2x+1)) ve ((x+1)) ise (örneğin şekilden öyle anlaşılabilir):
- Üçgenin alanı:
[
\frac{(2x+1)(x+1)}{2} ,.
] - Dolayısıyla kalan alan:
[
(3x+2)^2
;-;
\frac{(2x+1)(x+1)}{2} ,.
]
Sorunun çoktan seçmeli şıkları (örneğin “A) (3x+1)², B) (3x−1)² vb.”) göz önüne alınarak:
• Eğer kesilen üçgenin dik kenarları farklı ise, son ifade buna göre düzeltilecektir.
• Temel yöntem yukarıdaki gibidir: Kare alanı − Üçgen alanı.
2) Dikdörtgen Karton Üzerine Yapıştırılan Karelerle İlgili Alan Hesabı
Şekil II’de:
- A, B ve C kareleri, dikdörtgen şeklindeki kahverengi kartonun üzerine yapıştırılıyor.
- Her karenin kenarı (örneğin) “a + 2” vb. şekilde olabilir (soruda net verilmiyor).
- Sorulan: “Kahverengi kartonun alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?”
Genel strateji:
- Dikdörtgen kartonun boyutları (uzun kenar, kısa kenar) cebirsel olarak belirlenir.
- Üzerine yapıştırılan karelerin toplam alanını bul: her bir karenin alanı
(kenar)², sonra topla. - Soruda genelde “kalan alan = dikdörtgen alanı − (A kare + B kare + C kare) alanları” şeklinde istenir.
Seçeneklerde sıklıkla şöyle formlar görülür:
- 2a² + 24a + 36
- 2a² + 72
- 24a + 72 + … vb.
Bu durumda, ilk önce dikdörtgenin alanını (ör. (p)(q)) ve her karenin alanını (ör. (a)^2, (b)^2, (c)^2) netleştirdikten sonra farkını alarak şıklara uydurmak gerekir.
3) Bilet Sırasında Akın, Berat ve Cenk’in Konumları
Soruda verilenler:
- Akın ile Berat arasında 5 kişi vardır.
- Berat’ın arkasında 3x(x+2) kişi vardır.
- Akın’ın önünde x(x+14) − 18 kişi vardır.
- Cenk en sonda durmaktadır ve “Cenk kaçıncı sıradadır?” diye sorulur.
Adım Adım Çözüm
- Sıranın başı (bilet gişesi tarafı) konumunu 1 numara kabul edelim.
- Akın’ın konumu:
- Önünde (\bigl[x(x+14) - 18\bigr]) kişi varsa, Akın’ın sıra numarası:
[
x(x+14) - 18 + 1
= x(x+14) - 17 ,.
]
- Önünde (\bigl[x(x+14) - 18\bigr]) kişi varsa, Akın’ın sıra numarası:
- Berat’ın konumu:
- Akın ile Berat arasında 5 kişi olduğuna göre
[
\text{Berat konumu}
= \text{Akın konumu} + (5 + 1)
= x(x+14) - 17 + 6
= x(x+14) - 11 ,.
]
- Akın ile Berat arasında 5 kişi olduğuna göre
- Cenk’in konumu:
- Berat’ın arkasında (3x(x+2)) kişi vardır; Cenk en sonda olduğuna göre
[
\text{Cenk konumu}
= \bigl[x(x+14) - 11\bigr]
+ 3x(x+2) ,.
] - Açılırsa
[
= x^2 + 14x - 11
+ 3x^2 + 6x
= 4x^2 + 20x - 11 ,.
]
- Berat’ın arkasında (3x(x+2)) kişi vardır; Cenk en sonda olduğuna göre
Bulduğumuz ifade: (4x^2 + 20x - 11). Eğer şıklarda bu ifade bir kare biçiminde (mesela ((2x+5)^2 = 4x^2 +20x +25)) görünüyorsa, arada sabit sayı farkı olduğuna dikkat etmek gerekir. Sorunun özgün metninde ek koşullar veya özel bir (x) değeri aranıyor olabilir. Şıklardan hiçbiri direkt ((4x^2 + 20x - 11)) eşit değilse, soruda ek bir bilgi veya özel bir koşul yer alıyor demektir.
Özet Tablosu
| Konu | Yapılan İşlem / Formül | Sonuç veya İpucu |
|---|---|---|
| 1) Kareden Üçgen Kesme | (Kare alanı) - (Üçgen alanı) | (3x+2)² - (dik kenarlar çarpım/2) |
| 2) Üç Kare Yapıştırılan Dikdörtgen | Dikdörtgen alanı - (A + B + C karelerinin toplamı) | Seçeneklerden hangisinin denk olduğunu bulmak |
| 3) Bilet Sırası Problemi | Konum(Akın) → Konum(Berat) → Konum(Cenk) | Cenk’in konumu = 4x² + 20x - 11 |
Önemli Not: Resimdeki değerler ve şıklar net okunamadığından, sonucun tam hangi şıkla eşleştiği kontrol edilmeli. Gerekirse soruda (x)’in pozitif tam sayı olması gibi ilave kısıtlar dikkate alınmalı.
Cevap:
- Kareden kesilen dik üçgenin dik kenarları doğru tespit edilerek “kare alanı eksi üçgen alanı” ifadesi bulunur.
- Dikdörtgen ve karelerin alanları bilinerek “dikdörtgen alanı eksi karelerin toplam alanı” yazılır.
- Cenk’in sıra numarası (4x^2 + 20x - 11) olarak bulunur. Şıklarla birebir örtüşmüyorsa, problemde ek bir koşul aranmalıdır.