Soru: s(A \setminus B) = 2, s(B \setminus A) = 6 ve A \cap B kümesinin özalt kümeleri sayısı 63 ise, A \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:
-
Kümelerin çıkarılması ve kesişimi bilgileri:
- s(A \setminus B) = 2 demek, A kümesinde olup B kümesinde olmayan 2 eleman vardır.
- s(B \setminus A) = 6 demek, B kümesinde olup A kümesinde olmayan 6 eleman vardır.
- A \cap B kümesinin özalt kümeleri sayısının 63 olması, A \cap B kümesinin n elemandan oluştuğu anlamına gelir. Özalt kümelerin sayısı 2^n - 1 olduğundan, 2^n - 1 = 63 olur. Buradan 2^n = 64 ve dolayısıyla n = 6 bulunur.
-
Toplam eleman sayısını bulma:
- |A \cap B| = 6
- |A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B|
- |A \setminus B| = 2, |B \setminus A| = 6, |A \cap B| = 6
Bu bilgileri kullanarak:
$$ |A \cup B| = 2 + 6 + 6 = 14 $$
Sonuç olarak, A \cup B kümesinin eleman sayısı 14’tür.