Matematik sorusu problem

LGS
,
1

Yukarida kitapligin rafina ozdes kitaplar yatay bicimde ustuste ve yan yana aralarinda bosluk kalmicak gorseldeki gibi dizilcektir bir kitabin kalinligi kok10 cm uzunlugu ise 10 kok 6 cmdir kitapligin gorseldiki rafin ic yuksekligi kok 1200 cm ve yatay uzunlugu ise 120 cmdir buna gore kitapligin gorseldeki rafina en fazla kac adet kitap dizilebilir

2

Azrad’ın sorusuna göre kitapları en verimli şekilde dizerek, kitaplık rafına en fazla kaç kitabın sığacağını bulmamız gerekiyor. Problem hem bir geometri hem de optimizasyon sorusu. Şimdi adım adım çözelim.

Verilenler:

Bir kitabın boyutları:

  • Kalınlık: \sqrt{10} cm
  • Uzunluk: 10\sqrt{6} cm

Kitaplık rafının ölçüleri:

  • Raf iç yüksekliği: \sqrt{1200} cm
  • Yatay uzunluk: 120 cm

1. Adım: Kitap Rafına Dikeyde Kaç Kitap Üst Üste Dizilebilir?

Her bir kitabın kalınlığı \sqrt{10} cm’dir. Kitaplar yatay şekilde “üst üste” dizilecek. Rafın toplam yüksekliği \sqrt{1200} cm olduğu için, üst üste kaç kitabın sığabileceğini bulmak için şu işlemi yaparız:

\text{Üst üste kitap sayısı} = \frac{\text{Rafın yüksekliği}}{\text{Bir kitabın kalınlığı}}

Hesaplayalım:

  1. $\sqrt{1200}$’ü sadeleştirelim:
    $$ \sqrt{1200} = \sqrt{100 \cdot 12} = 10\sqrt{12} = 10 \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ cm.} $$

  2. \sqrt{10} ile bölelim:

    \text{Üst üste kitap sayısı} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{20}{\sqrt{\frac{10}{3}}} = \frac{20}{\sqrt{10/3}} = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{10}}.

    Burayı yaklaşık olarak hesaplamak için:

    • \sqrt{10} \approx 3.16,
    • \sqrt{3} \approx 1.73 olduğundan:
    \text{Üst üste kitap sayısı} \approx \frac{20 \cdot 1.73}{3.16} \approx \frac{34.6}{3.16} \approx 10.94.

Sonuç: Tam kitap sayısı sadece tam değer alabilir, bu yüzden 10 kitap üst üste dizilebilir.

2. Adım: Raf Yatayına Kaç Kitap Yan Yana Dizilebilir?

Her bir kitabın uzunluğu 10\sqrt{6} cm olarak verilmiş. Rafın toplam yatay uzunluğu ise 120 cm’dir. Bu durumda, yan yana kaç kitabın sığacağını hesaplamak için şu işlemi yaparız:

\text{Yan yana kitap sayısı} = \frac{\text{Rafın yatay uzunluğu}}{\text{Bir kitabın uzunluğu}}

Hesaplayalım:

  1. 10\sqrt{6} yaklaşık olarak:
    $$ 10\sqrt{6} \approx 10 \cdot 2.45 = 24.5 \text{ cm.} $$

  2. 120 cm’yi 24.5 cm’ye bölelim:

    \text{Yan yana kitap sayısı} = \frac{120}{24.5} \approx 4.89.

Sonuç: Tam kitap sayısı alınacağı için, 4 kitap yan yana dizilebilir.

3. Sonuç: Toplam Kitap Sayısını Hesaplama

Rafın yüksekliğinde 10 kitap üst üste, yatayda ise 4 kitap yan yana sığabilir. Bu durumda toplamdaki kitap sayısı:

\text{Toplam Kitap Sayısı} = (\text{Üst üste kitap sayısı}) \times (\text{Yan yana kitap sayısı}) = 10 \times 4 = 40.

Cevap:

Kitaplığın rafına en fazla 40 kitap dizilebilir.