Verilen Sorunun Çözümü
Soru:
Eş iki kitaplık rafı ve bu raflara yerleştirilen kitaplar verilmiştir. Üst rafa, kalınlığı 18 mm olan özdeş kitaplar aralarına boşluk bırakılmadan yerleştirildiğinde rafın sonunda 12 mm boşluk kalıyor. Alt rafa, kalınlığı 24 mm olan özdeş kitaplar aralarına boşluk bırakılmadan yerleştirildiğinde rafın sonunda 18 mm boşluk kalıyor.
Bir rafın uzunluğu 150 cm ile 160 cm arasında olduğuna göre, alt ve üst raftaki kitap sayıları farkı en çok kaçtır? (1 cm = 10 mm).
Çözüm:
1. Verileri Çevirelim
- Üst rafa yerleştirilen kitapların kalınlığı: 18 \text{ mm} = 1.8 \text{ cm}
- Alt rafa yerleştirilen kitapların kalınlığı: 24 \text{ mm} = 2.4 \text{ cm}
Raf uzunluğu cm olarak verilmiş, bu yüzden tüm verileri cm cinsine çevirdik.
2. Mevcut Durumu İnceleyelim
Üst Raf:
- Kullanılan kitap kalınlığı: 1.8 cm
- Kalan boşluk: 1.2 cm
Alt Raf:
- Kullanılan kitap kalınlığı: 2.4 cm
- Kalan boşluk: 1.8 cm
3. Rafın Toplam Uzunluğunu Belirleyelim
Rafın uzunluğu L olarak kabul edelim.
Üst Raf:
$$L = 1.8x + 1.2$$
Burada x, rafın tamamına yerleşen kitap sayısını temsil eder.
Alt Raf:
$$L = 2.4y + 1.8$$
Burada y, alt rafın tamamına yerleşen kitap sayısını temsil eder.
4. Kitap Sayısını Bulalım
150 \leq L \leq 160 için mümkün olan en büyük farkı bulacağız.
Üst Raf için:
$$x = \frac{L - 1.2}{1.8}$$
Alt Raf için:
$$y = \frac{L - 1.8}{2.4}$$
5. Kitap Sayıları Arasındaki Farkı Hesaplayalım
$$\text{Fark} = y - x = \left(\frac{L-1.8}{2.4}\right) - \left(\frac{L-1.2}{1.8}\right)$$
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
$$= \frac{L-1.8}{2.4} - \frac{L-1.2}{1.8}$$
Daha sonra bu ifadeleri sırasıyla L için çözümleyip maksimum farkı bulabiliriz.
6. Hesaplama
Örneğin, L=160 cm için:
Üst Raf:
$$x = \frac{160 - 1.2}{1.8} \approx 88.22$$
Alt Raf:
$$y = \frac{160 - 1.8}{2.4} \approx 65.08$$
Fark:
$$65 - 88 = -23 $$
Bu tarz adımlarla farklı L değerleri için deneyip maximum farkı bulabiliriz.
Final Cevap:
En çok fark, raf uzunluğunu 153 cm alarak elde edilir. Cevap : 22