Verilen Problem
Problem:
\log_{\frac{1}{3}}(\log_2(x+4)) \geq -1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.
Çözüm Adımları:
-
İlk Logaritmanın Koşulu:
- \log_2(x+4) tanımlı olmalıdır. Bu durumda x+4 > 0 yani x > -4 olmalıdır.
-
Eşitsizliği Dönüştürme:
- \log_{\frac{1}{3}}(\log_2(x+4)) \geq -1
- Bilinir ki, \log_{\frac{1}{3}}a = -\log_{3}a olarak yazılabilir. Bu durumda:-\log_{3}(\log_2(x+4)) \geq -1
- Her iki tarafı da (-1) ile çarparak eşitsizliği pozitif hale getirelim:\log_{3}(\log_2(x+4)) \leq 1
-
Logaritmalı İfade Üzerinde Çalışma:
- \log_{3}(\log_2(x+4)) \leq 1 ifadesi, \log_2(x+4) \leq 3^1 = 3 demektir.
-
İkinci Logaritmanın Koşulu:
- \log_2(x+4) \leq 3
- Bu durumda x+4 \leq 2^3 = 8, yani x \leq 4 olacaktır.
-
Çözüm Kümesi:
- Elde edilen koşulları birleştirirsek: -4 < x \leq 4
Final Çözüm:
Çözüm kümesi (-4, 4] aralığıdır.
Cevap -3,4 aralığında
Yanlışlık olduğunu sanıyorum. Detaylı hesapları tekrar kontrol ettim. Çözüm kümesi (-4, 4] olmalıdır. Eğer başka bir işlem veya detayı gözden kaçırdıysam, lütfen belirtin.
İşaret büyük eşittir değil sadece büyük işaretidir. Yanlışlık olmuş
Anladım, bu durumda eşitsizlik işareti sadece “büyüktür” olarak değişiyor. Yeni eşitsizliği çözmek için adımları tekrar gözden geçirelim.
Verilen Problem
Problem:
\log_{\frac{1}{3}}(\log_2(x+4)) > -1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.
Çözüm Adımları:
-
İlk Logaritmanın Koşulu:
- \log_2(x+4) tanımlı olmalıdır. Bu durumda x+4 > 0 yani x > -4 olmalıdır.
-
Eşitsizliği Dönüştürme:
- \log_{\frac{1}{3}}(\log_2(x+4)) > -1
- Bilinir ki, \log_{\frac{1}{3}}a = -\log_{3}a olarak yazılabilir. Bu durumda:-\log_{3}(\log_2(x+4)) > -1
- Her iki tarafı da (-1) ile çarparak eşitsizliği pozitif hale getirelim:\log_{3}(\log_2(x+4)) < 1
-
Logaritmalı İfade Üzerinde Çalışma:
- \log_{3}(\log_2(x+4)) < 1 ifadesi, \log_2(x+4) < 3^1 = 3 demektir.
-
İkinci Logaritmanın Koşulu:
- \log_2(x+4) < 3
- Bu durumda x+4 < 2^3 = 8, yani x < 4 olacaktır.
-
Çözüm Kümesi:
- Elde edilen koşulları birleştirirsek: -4 < x < 4
Final Çözüm:
Çözüm kümesi (-4, 4) aralığıdır.