Logaritma 8

YKS TYT
1

17354123991171460581523646765871
17354123991171460581523646765871720×960 19.7 KB

2

Eşitsizliğin çözüm kümesi

Cevap:

Verilen eşitsizlik:

-2 \leq \log_3 (2x+1) < -1

Adım 1: Logaritmanın tanım aralığı

Öncelikle, logaritmanın tanımlı olduğu aralığı belirlemeliyiz. \log_3 (2x+1) ifadesinin tanımlı olabilmesi için, içerdiklerinin pozitif olması gerekmektedir:

2x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x > -1 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{2}

Adım 2: Eşitsizliği çözme

-2 \leq \log_3 (2x+1) eşitsizliğini çözelim:

3^{-2} \leq 2x+1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{9} \leq 2x+1

Bu eşitsizliğin çözümü:

2x \geq \frac{1}{9} - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq \frac{1 - 9}{9} \quad \Rightarrow \quad 2x \geq -\frac{8}{9}
x \geq -\frac{8}{18} \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{4}{9}

Şimdi \log_3 (2x+1) < -1 eşitsizliğini çözelim:

2x+1 < 3^{-1} \quad \Rightarrow \quad 2x+1 < \frac{1}{3}

Bu eşitsizliğin çözümü:

2x < \frac{1}{3} - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x < \frac{1 - 3}{3} \quad \Rightarrow \quad 2x < -\frac{2}{3}
x < -\frac{2}{6} \quad \Rightarrow \quad x < -\frac{1}{3}

Adım 3: Çözüm kümesi

Her iki eşitsizliği ve logaritmanın tanım aralığını birleştirirsek:

-\frac{4}{9} \leq x < -\frac{1}{3}

Sonuç:

Bu durumda çözüm kümesi, -\frac{4}{9} ile -\frac{1}{3} arasında kalan tüm x değerleridir.

Çözüm Kümesi: [-\frac{4}{9}, -\frac{1}{3})
3

log 3 değil log 1 bölü 3 olmalı

4

Eşitsizliğin Düzeltilmiş Çözüm Kümesi

Cevap:

Verilen eşitsizlik:

-2 \leq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1) < -1

Adım 1: Logaritmanın tanım aralığı

Öncelikle, logaritmanın tanımlı olduğu aralığı belirlemeliyiz. \log_{\frac{1}{3}} (2x+1) ifadesinin tanımlı olabilmesi için, içerdiklerinin pozitif olması gerekmektedir:

2x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x > -1 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{2}

Adım 2: Eşitsizliği çözme

-2 \leq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1) eşitsizliğini çözelim. Burada taban \frac{1}{3} olduğu için eşitsizlikler yön değiştirir:

3^2 \geq 2x+1 \quad \Rightarrow \quad 9 \geq 2x+1

Bu eşitsizliğin çözümü:

2x \leq 9 - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x \leq 8
x \leq 4

Şimdi \log_{\frac{1}{3}} (2x+1) < -1 eşitsizliğini çözelim:

2x+1 > 3^1 \quad \Rightarrow \quad 2x+1 > 3

Bu eşitsizliğin çözümü:

2x > 3 - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x > 2
x > 1

Adım 3: Çözüm kümesi

Her iki eşitsizliği ve logaritmanın tanım aralığını birleştirirsek:

1 < x \leq 4

Sonuç:

Bu durumda çözüm kümesi, 1 ile 4 arasında kalan tüm x değerleridir.

Çözüm Kümesi: (1, 4]