Logaritmik Eşitsizliğin Değerlendirilmesi
Soru:
-
Verilen:
[
-5 \leq \log_{\frac{1}{2}}(x-5) \leq -2
] -
Kaç farklı x değeri vardır?
Cevap:
Bu tür logaritmik ifadeler, tabanın büyüklüğüne göre çözümlenir. Burada taban \frac{1}{2}, yani 0 ile 1 arasında negatif bir gerçektir, bu yüzden eşitsizlik çözümü biraz farklı bir yaklaşımla ele alınacaktır.
Adım 1: Logaritma Tanımının Sağlanması
Logaritmanın tanımlı olması için:
[
x-5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 5
]
Adım 2: İlk Eşitsizliğin Çözülmesi
[
\log_{\frac{1}{2}}(x-5) \geq -5
]
Taban \frac{1}{2} olduğundan, üs küçüldükçe değer büyür, yani:
[
(x-5) \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32
]
Bu durumda,
[
x - 5 \leq 32 \quad \Rightarrow \quad x \leq 37
]
Adım 3: İkinci Eşitsizliğin Çözülmesi
[
\log_{\frac{1}{2}}(x-5) \leq -2
]
Aynı mantıkla:
[
(x-5) \geq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4
]
Dolayısıyla,
[
x - 5 \geq 4 \quad \Rightarrow \quad x \geq 9
]
Adım 4: Çözümlerin Birleştirilmesi
Elde edilen eşitsizlik aralıklarını birleştirdiğimizde:
[
9 \leq x \leq 37
]
Bu aralıkta bulunan tam sayı değerleri (x) için:
[
x = 9, 10, 11, \ldots, 37
]
Sonuç:
Bu durumda, ((37 - 9) + 1 = 29) farklı tam sayı değeri elde edilir.
Sonuç:
[
29
]
Farklı x değeri vardır.