Logaritma iki

YKS TYT
1

Screenshot_2024-12-28-17-10-31-838_com.whatsapp
Screenshot_2024-12-28-17-10-31-838_com.whatsapp720×1600 27.1 KB

2

3) log1(log2(x+4)) > 1 - \frac{1}{3} çözüm kümesini bulunuz.

Cevap:

Bu problemde, logaritmik bir eşitsizlik verilmiş. Bu tür sorunları çözmek için her bir logaritmik terimin anlamı ve özelliklerini kullanarak adım adım çözüm yapacağız.

Aşamalar:

1. İç Logaritmanın Tanımlı Olması

Öncelikle, \log_2(x + 4) ifadesinin tanımlı olması için x + 4 > 0 olmalı. Buradan x > -4 olur.

2. Dış Eşitsizliğin Çözümü

Verilen eşitsizlik:

\log_1(log_2(x+4)) > 1 - \frac{1}{3}

Logaritma tabanı 1 olan bir logaritma tanımsız olduğu için, burada logaritmanın tanımında bir hata olabilir. Çünkü logaritma tabanı 1 hiçbir reel sayıda tanımlı değildir. Ancak ifade başka bir şekilde kastedilmiş olabilir. Eğer \log_1(x) gibi ifadeler tanımlı değilse ve kasıtsız bir yazım hatası varsa, bu durumda başka bir çözüm göz önünde bulundurulmalıdır.

  • Eğer bu problemde yazım hatası varsa ve gerçek problem \log_3(log_2(x+4)) > 1 - \frac{1}{3} olarak düşünülürse, çözüm tamamen farklı olacaktır. Ancak elimizdeki bilgi doğrultusunda bir hata olduğunu varsaymamız gerekiyor.

Çözüm:

Eğer sadece mevcut bilgilere dayanarak sorunu çözmeye çalışıyorsak ve olası bir hata varsa, herhangi bir reel çözüm kümesi belirlemek zor olacaktır. Problemin doğru formülasyonuna göre tespit edilen çözüm adımları bu yazım hatasını içermediklerinde net bir çözüm vermek mümkündür.

Sonuç:

Eğer geçerli bir çözüm yolunu takip etmek gerekirse, daha fazla bilgi veya doğrulama yapılmasına ihtiyaç vardır. Bunun dışında varsayım yaparak problemdeki muhtemel yazım hatalarını çözebilecek bir yaklaşım yoktur.

Lütfen yanlış anlaşılabilecek durumlar için sorunuzu gözden geçirin veya sorunun doğru halini belirtin.

3

Çözüm kümesini istiyor

4

3) (\log_{1}(\log_{2}(x+4)) > 1 - \frac{1}{3}) çözüm kümesini bulunuz.

Cevap:

Bu problemde verilen ifadede bir hata olabilir, çünkü taban (1) olan bir logaritma tanımsızdır. Eğer sorun doğru bir taban verilirse, eşitsizliği çözmek mümkün olur. Burada muhtemelen bir yazım hatası var. Diyelim ki formül (\log_{3}(\log_{2}(x+4)) > 1 - \frac{1}{3}) şeklinde olmalıdır. Bu durumda nasıl çözüleceğini adım adım göstereceğim.

Aşamalar:

1. İç Logaritmanın Tanımlı Olması

İlk önce (\log_{2}(x+4)) ifadesinin tanımlı ve pozitif olması gerekiyor:

  • Tanımlı olabilmesi için, (x + 4 > 0) yani (x > -4) olmalıdır.
  • Pozitif olması için de (\log_{2}(x+4) > 0) yani (x+4 > 1) olmalıdır. Buradan (x > -3) bulunur.

Dolayısıyla, (x > -3) başlangıç koşuludur.

2. Dış Eşitsizliği Çözme

Eşitsizliği çözmek:

\log_{3}(\log_{2}(x+4)) > \frac{2}{3}

Logaritmanın sağ tarafındaki ifadeyi üs olarak yazarsak:

\log_{2}(x+4) > 3^{2/3}

3. İç Logaritmayı Çözme

(z = \log_{2}(x+4)) olduğunu varsayalım:

z > 3^{2/3}

(\log_{2}(x + 4)) ifadesini açarsak:

x + 4 > 2^{3^{2/3}}

Bu noktada hesaplamayı gerçekleştiririz:

  • (3^{2/3}) yaklaşık olarak (2.289) olur.
  • Dolayısıyla, (2^{2.289}) hesaplanır ve yaklaşık olarak (4.914) değerini verir.

Son çözüm:

x + 4 > 4.914

Buradan:

x > 0.914

4. Sonuç

Başlangıçta bulunan koşullar ve eşitsizlik sonucunda çıkarılan değerleri birleştiririz:

x > \max(-3, 0.914)

Bu da:

x > 0.914

şeklindedir. Böylece çözüm kümesi:

(0.914, \infty)

Sonuç:

Çözüm kümesi: (x \in (0.914, \infty)) şeklindedir. Eğer logaritmanın tabanıyla ilgili bir problem varsa, soru tekrar gözden geçirilmelidir.