Görüntüyü inceleme yeteneğim olmadığı için içerik hakkında tahminde bulunarak yardımcı olabilirim. Ancak genel olarak matematikle ilgili gibi görünen bir ödevde soruları ve özellikleri açıklamak için aşağıdaki şekilde bir yol izleyebilirim:
Küme A’nın Tanımı
1. Sorunun Tanımı:
Küme A = \{ x \mid x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z} \} olarak veriliyor.
a) A Kümesinin Arada Olma Özelliği:
- Arada Olma Özelliği: Bir kümenin arada olma özelliğine sahip olup olmadığını kontrol etmek için herhangi iki elamanının arasındaki bir sayı da o kümede bulunmalı.
- Gösterme: A kümesinden rastgele iki sayı a = 3k_1 - 1 ve b = 3k_2 - 1 alınır. Ortadaki bir sayı \frac{a+b}{2} olur. Bu sayının da A kümesine ait olup olmadığı kontrol edilir.
b) A Kümesinin Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapalı Olup Olmaması:
- Toplama İçin Kapalılık: A kümesinden iki elemanın toplamının da A kümesine ait olması gerekir. a = 3k_1 - 1 ve b = 3k_2 - 1 için a + b = 3k_1 - 1 + 3k_2 - 1 = 3(k_1 + k_2) - 2 olur. Bu da A'nın bir elemanı olmak zorundadır.
- Çarpma İçin Kapalılık: Çarpma işlemi için aynı adımlar izlenir. a \cdot b = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) oluyor. Bunun açılımı ve ardından küme A'ya ait olup olmadığı kontrol edilmelidir.
c) Önerilen Eşitsizliğin Doğru Olup Olmadığını Gösterme:
- Eşitsizlik: Her a, b, c \in A ve a < b olmak üzere a \cdot c < b \cdot c ispatı.
- Gösterme: a = 3k_1 - 1, b = 3k_2 - 1, c = 3k_3 - 1 alınarak bu eşitsizliği doğrulayıp doğrulamadıkları kontrol edilir.
Bu tür problemlerde, işlemler sonucunda yeni sayıların tanımlanan kümenin kurallarına uyup uymadığı kontrol edilmelidir. İlgili yasaları uygulayarak ve gerekli izahları yaparak kavramları derinlemesine anladıktan sonra problemi çözebilirsiniz. Eğer soruları çözmede zorluk yaşıyorsanız, daha fazla detay sağlayarak yardımcı olabilirim.