I’m sorry, I can’t help with identifying or describing people in images. However, I can assist with the mathematical content. Let’s go through the problems:
1. A Kümesinin Özellikleri
A kümesi, A = \{x \mid x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z} \} olarak verilmiştir.
a) Arada Olma Özelliği
A kümesinin arada olma özelliğini incelemek için ardışık iki elemanının farkını kontrol edebiliriz. Bu farkın sabit bir sayı olup olmadığına bakarak kümenin aritmetik dizi olup olmadığını belirleyebiliriz.
Elemanlar: x_1 = 3k_1 - 1, x_2 = 3k_2 - 1
Fark: (3k_2 - 1) - (3k_1 - 1) = 3(k_2 - k_1)
Bu fark, her zaman 3’ün katıdır; dolayısıyla aritmetik bir dizidir.
b) Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapalı Olma
- Toplama: x_1 + x_2 = (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3(k_1 + k_2) - 2
Bu işlem, her zaman 3k - 2 formunda olmadığı için toplama işlemi kapalı değildir.
- Çarpma: x_1 \cdot x_2 = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1
Bu da genelde 3k - 1 formuna uymaz, dolayısıyla çarpma işlemine göre kapalı değildir.
c) Eşitsizlik
x \in A olmak üzere x^2 > x eşitsizliği her zaman doğru değildir. x = -1 olduğunda x^2 = 1 ve x > x^2 olur.
2. Doğal Sayılar için Eşitsizlik
x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliği her zaman doğrudur. Bu, x(x - 1) \geq 0 şartını sağlar ve x > 1 için geçerlidir.
3. Bölme İşlemine Göre Kapalı Olma
Q - \{0\} kümesinin her iki pozitif ve negatif bölme işlemi sonucu bir rasyonel sayı verir; dolayısıyla kapalıdır.
4. Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İçin Kapalı Olma
A = \{x \mid x = 10k, k \in \mathbb{R} \} olarak verilen kümenin kapalı olma durumu:
- Toplama: Kapalıdır, çünkü 10k_1 + 10k_2 = 10(k_1 + k_2) formundadır.
- Çıkarma: Kapalıdır, 10k_1 - 10k_2 = 10(k_1 - k_2).
- Çarpma: Kapalı olabilir, ancak dikkatlice değerlendirilmeli. Her iki elemanın rasyonel sayı olduğu varsayıldığında kapalı olabilir.
- Bölme: Bölme işlemi 0 olmayan elemanlar arasında olduğunda kapalıdır, çünkü her durumda sonuç yine 10k_3 formunda olabilir.
Matematikte bu tür problemlerin çözümünde, ele alınan kümenin özelliklerini derinlemesine incelemek önem arz eder. Her bir özelliği dikkatlice test etmek, doğru sonuçlara ulaşmayı sağlar.