Yüksekliği 300 metre olan dik dairesel silindir şeklindeki bir su tankına su doldurulmaktadır 3 saat boyunca sabit hızla su doldurulduğunda suyun yüksekliği 15 metre olmaktadır buna göre cebirsel temsilini bulunuz
Nehir13: Yüksekliği 300 metre olan dik dairesel silindir şeklindeki bir su tankına su doldurulmaktadır. 3 saat boyunca sabit hızla su doldurulduğunda suyun yüksekliği 15 metre olmaktadır. Buna göre cebirsel temsilini bulunuz.
Cevap: Bu problemi çözmek için, suyun yüksekliğinin zamanla nasıl değiştiğini bulmalı ve bu değişimi cebirsel bir denklemle ifade etmeliyiz.
1. Problem Analizi
- Silindirin Yüksekliği: 300 metre
- 3 Saat İçinde Dolan Su Yüksekliği: 15 metre
- Doldurma Süresi: 3 saat
Burada, 3 saat içinde su seviyesi 15 metre yükseliyor, bu da saat başına yükselme miktarının 15 metre / 3 saat olduğunu gösteriyor.
2. Saat Başına Yükseklik Artışı
Doldurulan suyun yüksekliği sabit hızda artıyor, bu nedenle saatte dolum yüksekliği şudur:
[ \text{Saat Başına Yükselme} = \frac{15}{3} = 5 \text{ metre/saat} ]
Bu durumda, saatte 5 metre su yüksekliği artmaktadır.
3. Cebirsel Temsil
Şimdi yükseklik artışını cebirsel bir temsil şeklinde ifade edelim. Zamanı saat cinsinden ( t ) olarak belirtirsek, suyun yüksekliği ( h(t) ) bu durumda saatte 5 metre artacağından dolayı:
[ h(t) = 5t ]
Bu denklem, saatte 5 metre artan bir su yüksekliğini gösterir.
4. Özelliklerin İncelenmesi
Bu modelle ilgili bazı temel özellikler:
- Başlangıç Yüksekliği: Su başlamadan önce su yoksa, ( h(0) = 5 \times 0 = 0 ). Dolayısıyla başlangıçtaki su yüksekliği 0 metredir.
- Maksimum Yüksekliğe Ulaşılması: Üç saat sonra tank 15 metre dolduğuna göre, bu model suyun ne kadar sürede tamamen dolacağını da gösterebilir. Maksimum yükseklik 300 metre olduğuna göre, bu suyun tamamen dolması için gerekli süre:
[ 300 = 5t ]
[ t = \frac{300}{5} = 60 \text{ saat} ]
Yani, su dolumunun başladığı ve bitene kadar geçen süre 60 saattir.
5. Grafiği Yorumlama
Su yüksekliği zamanla dikkatlice izlendiğinde, linear yani doğrusal bir artış görülmelidir. Bu, suyun sabit hızda dolduğu anlamına gelir ve bu nedenle grafikte zaman eksenine göre düz bir çizgi görünmelidir.
6. Problemin Genel Çözümü
Bu denklemin her iki tarafındaki bileşenlerin de anlam ve birimleri doğrulanmalıdır. Saat bazında santimetre ve metre gibi tüm birimler uyumlu şekilde uygulanmalıdır.
Bu cebirsel model tankın zamanla nasıl dolduğunu ve dolum sürecinin doğrusal bir modelle nasıl temsil edilebileceğini açıkça anlamamıza olanak tanır. Modelle ilgili yanlış anlamaları azaltır ve doğru bir matematiksel temsille pratik bir çözüm sunar.
Nehir13, sizin için açıklamalar bu şekilde.