Görüntüdeki soruların çözümlerini adım adım açıklayalım:
1. Soru Çözümü
Verilen Bilgi:
Yüksekliği 200 cm olan dik dairesel silindir içindeki boş su tankı su ile dolmaktadır. Tankın dolması, sabit bir hızla, 1 cm olarak belirtilmiştir.
a) Fonksiyonun Tanımı ve Görüntü Kümesi:
Dolum zamanı t (dakika) ile dolum yüksekliği h (cm) arasında bir ilişki kurmamız gerekiyor. Her dakika yüksekliğin 1 cm arttığını biliyoruz. Bu durumda:
[ h(t) = t ]
Tanım Kümesi: t ≥ 0
Görüntü Kümesi: 0 ≤ h(t) ≤ 200
b) Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
Fonksiyon basit bir doğrusal fonksiyondur ve suyun dolduğu zamana bağlı olarak yükseklikle lineer bir ilişki kurar:
[ h(t) = 10t ]
c) Grafik Temsil:
Bu, (0,0) noktasından başlayan ve (20, 200) noktasına ulaşan doğrusal bir grafik olacaktır. X ekseni zamanı (t), Y ekseni yükseklik (h) temsil eder.
ç) Fonksiyon Bire Bir mi?
Bir doğrusal fonksiyonumuz var ve bu su dolum işlemi sürekli ve tek yönlüdür. Yani, h(t) = t bire birdir.
d) Fonksiyonun Sıfırı ve İşareti:
Fonksiyon t = 0’dan itibaren pozitif değerler alır. h(t) = 0 olmak için t = 0 olmalıdır.
2. Soru Çözümü
Verilen Bilgi:
Kenarı 4 cm ve x cm olan bir dikdörtgen verilmiştir ve bu dikdörtgenin çevresi p(x)'dir.
a) Fonksiyonun Tanımı ve Görüntü Kümesi:
Fonksiyonun tanım kümesi, ( x > 1 ) olarak verilmiştir.
Çevreyi hesaplayacak olursak:
[ p(x) = 2 \times (4 + x) = 8 + 2x ]
Tanım Kümesi: x > 1
Görüntü Kümesi: 10 (çünkü x > 1 ise minimum çevre 10 olur)
b) Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
[ p(x) = 8 + 2x ]
c) Fonksiyonun İşareti:
Bu fonksiyonun işareti her zaman pozitiftir, çünkü x > 1 ve bu durumda 8 + 2x > 8 her zaman doğrudur.
ç) Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar:
Fonksiyon lineerdir ve x arttıkça p(x) de artar. Yani fonksiyon sürekli artandır.
d) Fonksiyon Bire Bir mi?
Bu fonksiyon bire birdir, çünkü farklı iki x değeri için farklı p(x) değerleri verir ve bu lineer ilişki kesindir.
Her iki sorunun da çözümlerini detaylı bir şekilde açıkladık. Eğer başka bir soruda yardıma ihtiyacınız olursa, tekrar sormaktan çekinmeyin!