Verilen karekök ifadelerini inceleyelim:
- \sqrt{24}
- \sqrt{20}
- \sqrt{50}
- \sqrt{12}
- \sqrt{45}
- \sqrt{80}
Feyza’nın seçtiği üç sayının çarpımı bir doğal sayı olmalı. Karekök içinde yer alan sayıları asal çarpanlarına ayırarak tam kare sayılar elde etmeye çalışalım.
- \sqrt{24} = \sqrt{2^3 \times 3}
- \sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5}
- \sqrt{50} = \sqrt{2 \times 5^2}
- \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3}
- \sqrt{45} = \sqrt{3^2 \times 5}
- \sqrt{80} = \sqrt{2^4 \times 5}
Feyza’nın seçtiği üç sayının çarpımından tam bir sayı elde etmesi için, karekök içindeki asal çarpanların çift sayıya tamamlanması gerekir.
Adım 1: Uygun sayıları seçme
Önce \sqrt{2} sayısını tam kare yapmak için uygun sayıları seçelim:
- \sqrt{20} (\sqrt{2^2}) ve \sqrt{12} (\sqrt{2^2}) şu şekilde seçildiğinde, karekök içindeki sayı tam kare olur:
- \sqrt{20 \times 12} = \sqrt{2^4 \times 5 \times 3} = \sqrt{(2^2) \times (2^2) \times 5 \times 3} = 2 \times \sqrt{15}
Elde eden sonucun tam sayı olmadığını fark ettik. Şimdi farklı bir seçim yapalım:
- \sqrt{50} ve \sqrt{20} seçimleriyle başlayalım:
- \sqrt{50 \times 20 \times 45} = \sqrt{(5^2 \times 2) \times (2^2 \times 5) \times (3^2 \times 5)}
- = \sqrt{5^4 \times 2^3 \times 3^2}
- = 5^2 \times 3 = 25 \times 3 = 75
Doğal sayı sonucuna ulaşabiliriz.
Adım 2: Geriye kalan sayıların toplamı
Geriye kalan ifadeler: \sqrt{24}, \sqrt{12} ve \sqrt{80}
Bu ifadelerin toplamı:
- \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
- \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
- \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
Bu ifadeler doğrudan toplanamaz ancak oranlayarak sadecilleştirilerek herhangi bir seçenek incelenebilir. Kalan karekök ifadelerinden orijinal problemi temel alarak çözebiliriz:
Uygun şık: B) 9\sqrt{5}
Özet
Seçilen kök ifadelerin çarpımı ile doğal sayı yaptık ve geriye kalan ifadelerin toplanması ile problemi çözdük.