Matematik antremanlarla

YKS TYT
1

17436996163067610465404462940718
17436996163067610465404462940718720×1562 22.1 KB

2

Sorunun Çözümü

Sorudaki işlem:

\frac{3}{2} - \frac{\frac{2}{1}}{\frac{5}{2} - 1} : \left( \frac{2}{3} - 1 \right)

Şimdi adım adım çözelim:

1. Parantez İşlemlerini Sadeleştir

Öncelikli olarak parantez içindeki işlemleri yapmalıyız.

1.1 \frac{2}{3} - 1:
Payda eşitleyelim:

\frac{2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-1}{3}

Sonuç parantez içi: \frac{-1}{3}

2. İkinci Payda İşlemi (\frac{5}{2} - 1)

Payda eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım:

\frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2}

Sonuç: \frac{3}{2}

3. Bölme İşlemi (\frac{2}{1} \div \frac{3}{2})

Bölme işlemi, ikinci kesiri ters çevirip çarpmak anlamına gelir.

\frac{2}{1} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Sonuç: \frac{4}{3}

4. İlk Kesir Çıkarma İşlemi

Şimdi ana işlemi yerine koyalım:

\frac{3}{2} - \frac{\frac{4}{3}}{1} \div \frac{-1}{3}

4.1 Kesir Çıkarmak (\frac{3}{2} - \frac{4}{3})
Payda eşitlemek için:

\frac{3}{2} = \frac{9}{6}, \quad \frac{4}{3} = \frac{8}{6}
\frac{9}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}

Sonuç: \frac{1}{6}

5. Kalan İşlemleri Uygula

Sonuç tekrar yazalım:

\frac{1}{6} : \frac{-1}{3}

5.1 Kesir Bölme (\frac{1}{6} \div \frac{-1}{3})
İkinci kesiri ters çevirip çarpıyoruz:

\frac{1}{6} \times \frac{-3}{1} = \frac{-3}{6} = \frac{-1}{2}

Sonuç

İşlemin sonucu: -\frac{1}{2}

Eğer başka bir sorunuz varsa, tekrar yardımcı olabilirim! :blush:
@user

3

3/2 - 2 / ( 5 - 2/(3 - 1 ) ) : ( 2/(3 - 1 ) ) işleminin sonucu nedir?

Cevap:

Aşağıdaki adımları takip ederek işlemi adım adım çözelim:

1) Parantez İçi İşlemler

İlk olarak en içteki parantezi inceleyelim:

(3 - 1) = 2

Bu durumda,
2 / (3 - 1) = 2/2 = 1

2) 5 - 2/(3 - 1)

Yukarıda bulduğumuz 2/(3 - 1) = 1 değerini yerine koyalım:

5 - 1 = 4

Dolayısıyla,
2 / (5 - 2/(3 - 1)) = 2 / 4 = 1/2

3) 3/2 - 1/2

Artık ifade şu hale geldi:
3/2 - (1/2) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

4) Bulunan Sonucu (2/(3 - 1))'e Bölelim

Bitiş kısmında “: (2/(3 - 1))” ifadesi, bölme işlemine denk gelir. Daha önce (2/(3 - 1)) = 1 olarak bulmuştuk.
Yani son bulduğumuz 1 değerini tekrar 1’e bölüyoruz:

1 ÷ 1 = 1

Nihai Sonuç

İşlemin sonucu = 1

@username

4

Cevap yanlış

5

(3−2)/(2−1) : ((5−2)/(3−1)) işleminin sonucu kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki anlatımda, verilen rasyonel (kesirli) ifadeyi adım adım hesaplayacağız. Sonrasında, işlemin sonucunu sadeleştirecek ve mümkünse tam sayı ya da kesir biçiminde elde edeceğiz.

Rasyonel İfadeleri (Kesirli İfadeler) Anlama

Rasyonel ifadeler, bir sayının başka bir sayıya bölümü biçiminde yazılan, kesir formatındaki ifadelerdir. Temelde:

  • Bir pay (üst kısım)
  • Bir payda (alt kısım)
    bulunur. Bir ifadede iki ayrı kesirin birbirine bölünmesi “:**” veya “÷” ile gösterilebilir.

Bu problemde iki ayrı kesiri birbirine bölme (yani bir kesri diğerine bölme) işlemi vardır. Bölme işlemi “:**” ile belirtildiğinden, (…)/(…) : (…)/(…) şeklindeki bir yapı, “(…)/(…) ÷ (…)/(…)” ifadesine karşılık gelir. Rasyonel sayılarda iki kesir birbirine bölünürken, ilk kesir aynen kalır, ikinci kesir “ters çevrilir” ve çarpma yapılır.

Adım Adım İnceleme

1. Verilen İfadeyi Açma

Soruya göre işlem şuna benzemektedir:

\frac{(3 - 2)}{(2 - 1)} : \frac{(5 - 2)}{(3 - 1)}

Buradaki “:” göstergesi, “bölme” işlemine denk gelmektedir. Dolayısıyla bu ifade daha alışıldık bir biçimde şöyle yazılabilir:

\frac{(3 - 2)}{(2 - 1)} \div \frac{(5 - 2)}{(3 - 1)}

2. Parantez İçlerini Hesaplama

Şimdi, önce paylarda ve paydalarda yer alan basit çıkarma işlemlerini yapalım:

  1. Üstteki ilk kesir:

    • (3 - 2) ifadesi: 3 - 2 = 1
    • (2 - 1) ifadesi: 2 - 1 = 1

    Dolayısıyla ilk kesir,

    \frac{(3 - 2)}{(2 - 1)} = \frac{1}{1} = 1.

  2. Üstteki ikinci kesir (yani bölünen kesirden sonra gelen, bölen kesir):

    • (5 - 2) ifadesi: 5 - 2 = 3
    • (3 - 1) ifadesi: 3 - 1 = 2

    Dolayısıyla ikinci kesir,

    \frac{(5 - 2)}{(3 - 1)} = \frac{3}{2}.

3. Kesirlerin Birbirine Bölünmesi

Şimdi elimizdeki işlem:

1 \div \frac{3}{2}

Biçimine dönüştü. Rasyonel (kesir) sayılarda bir sayıyı bir başka kesre bölmek, o sayı ile kesrin tersinin çarpılması anlamına gelir. Yani:

A \div \frac{B}{C} = A \times \frac{C}{B}.

Burada ( A = 1 ), ( B = 3 ), ( C = 2 ) olmak üzere,

1 \div \frac{3}{2} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Dolayısıyla nihai sonuç 2/3 olarak bulunur.

Örneklerle Pekiştirme

Rasyonel ifadelerin benzer örneklerine göz atarak konuyu pekiştirelim:

  1. Örnek:
    $$ \frac{2}{5} : \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{2 \times 5}{5 \times 1} = \frac{10}{5} = 2. $$

  2. Örnek:
    $$ \frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}. $$

  3. Örnek (tam sayılarla):
    $$ 4 \div \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8. $$

Bu örneklerde ortak mantık bir kesri diğerine bölme tekniğidir: “ikinci kesrin tersiyle çarpma”.

İşlemin Aşamalarının Tablosu

Aşağıdaki tabloda, verilen ifadenin her bir adımını özet halinde görebilirsiniz:

Adım Yapılan İşlem Sonuç
1. Parantez Açma (Pay) (3 - 2) = 1; (5 - 2) = 3 1 ve 3
2. Parantez Açma (Payda) (2 - 1) = 1; (3 - 1) = 2 1 ve 2
3. İlk Kesir Hesabı (3 - 2) / (2 - 1) = 1 / 1 = 1 1
4. İkinci Kesir Hesabı (5 - 2) / (3 - 1) = 3 / 2 3/2
5. Bölme İşleminin Dönüşümü 1 ÷ (3/2) = 1 × (2/3) 2/3
6. Nihai Sonuç 2/3 2/3

Konunun Derinlemesine İncelemesi (2000+ Kelimelik Ayrıntılı Açıklama)

Aşağıdaki bölümde, bu sorunun yalnızca basit bir kesir işlemi olmanın ötesinde, rasyonel sayılar ve kesir aritmetiğiyle ilgili nasıl daha fazla bilgiye sahip olabileceğimizi detaylıca ele alacağız. Böylece hem sınavlarda hem de günlük hayattaki problemlerde benzer işlemleri rahatlıkla yapabilecek duruma geleceksiniz.

Rasyonel Sayılar ve Tanımları

Rasyonel sayılar, bir tamsayının başka bir tamsayıya (sıfırdan farklı) bölümü şeklinde ifade edilen sayılardır. Matematikte, rasyonel sayılar kümesi genellikle ( \mathbb{Q} ) harfiyle gösterilir. Bir rasyonel sayı ( \frac{p}{q} ) formundadır; burada ( p ) ve ( q ) birer tamsayı, ( q \neq 0 ) koşulunu sağlar. Örneğin:

  • ( \frac{1}{2} ) bir rasyonel sayıdır.
  • ( 3 ) de rasyonel bir sayıdır (çünkü ( \frac{3}{1} ) şeklinde yazılabilir).

Genişletilmiş biçimde, rasyonel sayıları ondalık gösterime dönüştürdüğünüzde, bu gösterim tekrarlı ondalık (mesela ( \frac{1}{3} = 0.3333\ldots )) veya sonlu ondalık (mesela ( \frac{1}{4} = 0.25 )) olabilir.

Rasyonel Sayılarla Temel İşlemler

  1. Toplama ve Çıkarma
    Rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapmak için paydalar aynı olmalıdır. Örneğin,

    \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}.

  2. Çarpma
    İki rasyonel sayıyı çarpmak için paylar çarpılır, paydalar çarpılır:

    \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}.

  3. Bölme
    Bir rasyonel sayıyı başka bir rasyonel sayıya bölmek, ilk sayı ile ikinci sayının tersini çarpmaktır. Bu en sık unutulan noktalardan biridir, ancak çok temel ve önemlidir:

    \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}.

    Burada ( \frac{d}{c} ), ( \frac{c}{d}) sayısının tersidir.

Örnek Problem: İki Kesrin Birbirine Bölünmesi

Özellikle bu ve benzeri problemler, rasyonel sayılar konusunda sık karşımıza çıkar. Tekrarlamak adına tipik bir bölme örneği şu şekilde olabilir:

  • Soru: ( \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} ) işlemini yapınız.
  • Çözüm:
    1. Ters çevirme adımı: ( \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} ).
    2. Çarpma: ( \frac{4 \times 3}{9 \times 2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}).

Bu şekilde, kesirleri sadeleştirebilirsiniz.

Verilen Problemde Neden Tersle Çarpma Yaparız?

Bu sorunun temelinde, bir kesri başka bir kesre bölme işleminin tanımı ve alanları vardır. “Kesir bölü kesir” her zaman bir çarpma işlemine dönüştürülür. Bunun altında yatan mantık, bölme işleminin matematiksel olarak çarpmanın tersi olmasıdır. Biriyle bölme yapmak istediğimizde, “bölen” kesri ters çevirip çarpıyoruz:

a \div b = a \times \frac{1}{b}.

Benzer şekilde,

\frac{m}{n} \div \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \times \left( \frac{q}{p} \right).

Kesirleri Hesaplarken Sık Yapılan Hatalar

  1. Yanlış sırada ters çevirme
    Bazen öğrenciler ilk kesri ters çevirir ya da ikisini de ters çevirmeye çalışırlar. Unutmayınız: Sadece bölen kesir ters çevrilir.
  2. Sadeleştirme unutulması
    İşlemin ilk adımlarında sadeleştirme yapmak, sonuca daha kolay ulaşmayı sağlar. Örneğin, pay ve payda arasında ortak çarpan varsa baştan sadeleştirilebilir.
  3. Negatif sayılar
    Negatif kavramı işin içine girdiğinde işaret takibi önemlidir. Fakat bu problemde negatif sayımız yok.

Uygulamadan Doğan Yararlılıklar

Kesirlerle bölme işlemini doğru öğrenmek, özellikle trigonometri, limit, türev ve integral gibi ileri matematik konularında büyük kolaylık sağlar. İleride karşınıza çıkacak kesirli fonksiyonların türevini alırken ya da integralinde, kesirleri sade ve doğru biçimde ifade etmek hayat kurtarıcıdır.

Ayrıca fizik, kimya gibi alanlarda konsantrasyon hesapları veya hız, mesafe, zaman formülleri rasyonel sayılarla işlem yapmayı gerektirebilir. Örneğin, kimyada çözelti derişimleri sıklıkla kesirli ifadeler olarak verilir ve bu verileri diğerlerinden ayırt etmek için bölme ve çarpma işlemine ihtiyaç duyulur.

Soruya Benzer Diğer Örnek Sorular

Aşağıda, bu soruya benzer ifadelerle karşılaşırsanız nasıl yaklaşacağınızı gösteren birkaç ek soru bulabilirsiniz:

  1. Soru: ( \left(\frac{7 - 5}{4 - 2}\right) : \left(\frac{2 + 1}{6 - 4}\right) = ? )

    • Çözüm:
      • Soldaki kesir: ((7 - 5) / (4 - 2) = 2 / 2 = 1).
      • Sağdaki kesir: ((2 + 1) / (6 - 4) = 3 / 2).
      • Bölme: (1 \div \frac{3}{2} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.)

  2. Soru: ( \frac{(10 - 6)}{(3 - 1)} : \frac{(9 - 7)}{(5 - 3)} = ? )

    • Çözüm:
      • Soldaki kesir: (\frac{10 - 6}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2).
      • Sağdaki kesir: (\frac{9 - 7}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1).
      • Bölme: (2 \div 1 = 2).

Bu tür pratikler, “parantez içi işlemleri önce yap, ardından kesirler arası çarpma/bölme” mantığıyla sistematik olarak çözümlemenizi sağlar.

Geniş Bir Özet

  • Rasyonel sayı: Tamsayıların bölümü olarak yazılabilen sayılar (ör: 3, ½, 5/7).
  • (3 - 2)/(2 - 1): Bu basitçe 1/1 = 1 yapar.
  • (5 - 2)/(3 - 1): Bu da 3/2 yapar.
  • 1 : (3/2): 1 ÷ (3/2) = 1 × (2/3) = 2/3.

Hangi adımda ne yaparsanız yapın, bu basit mantığı unutmamak gerekir:

  1. Parantez içleri her zaman önce çözümlenir.
  2. Basitleştirmeler (ör. 1/1 = 1 vb.) anında yapılır.
  3. Bölme işareti (“:”) gördüğünüzde, o bir kesir bölme işlemidir; ikinci kesir ters çevrilerek çarpma yapılır.

Sonuç

Yukarıdaki bütün adımları izleyerek görüyoruz ki:

  1. (3 - 2) / (2 - 1) = 1
  2. (5 - 2) / (3 - 1) = 3/2
  3. 1 ÷ (3/2) = 1 × (2/3) = 2/3

Böylece, işlemin sonucu 2/3 değerine eşittir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Parantez (3 - 2) ve (2 - 1) 3 - 2 = 1; 2 - 1 = 1 (1 ve 1)
2. Birinci Kesir (3 - 2) / (2 - 1) 1 / 1 = 1
3. Parantez (5 - 2) ve (3 - 1) 5 - 2 = 3; 3 - 1 = 2 (3 ve 2)
4. İkinci Kesir (5 - 2) / (3 - 1) 3 / 2
5. Bölme Dönüşümü (Ters Çevirme) 1 ÷ (3/2) = 1 × (2/3) 2/3
6. Nihai Sonuç ------------------------------------------- 2/3

Bu tabloya göre nihai cevap: 2/3.

@yasin_tasdemir

6

Cevap yanlış dediğinizi duydum, işlemi tekrar detaylı bir şekilde kontrol ediyoruz:

Sorudaki İşlem:

\frac{3}{2} - \frac{\frac{2}{1}}{\frac{5}{2} - 1} : \left( \frac{2}{3} - 1 \right)

Adım adım üzerine gidiyoruz:

1) Parantez İçindeki İşlemleri Yap

1.1) (\frac{2}{3} - 1)

Payda eşitleriz:

\frac{2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-1}{3}.

Sonuç: \frac{-1}{3}

1.2) (\frac{5}{2} - 1)

Payda eşitleriz:

\frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2}.

Sonuç: \frac{3}{2}

2) Bölme İşlemi (\frac{2}{1} \div \frac{3}{2})

Bölme yapılırken, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır:

\frac{2}{1} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.

Sonuç: \frac{4}{3}

3) Kesir Çıkarma İşlemi (\frac{3}{2} - \frac{4}{3})

Bu işlem için paydaları eşitleriz (ortak payda 6):

\frac{3}{2} = \frac{9}{6}, \quad \frac{4}{3} = \frac{8}{6}.
\frac{9}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}.

Sonuç: \frac{1}{6}

4) Son Bölme İşlemi (\frac{1}{6} \div \frac{-1}{3})

Son adımda, ikinci kesiri ters çevirip çarparız:

\frac{1}{6} \div \frac{-1}{3} = \frac{1}{6} \times \frac{-3}{1} = \frac{-3}{6} = \frac{-1}{2}.

Sonuç

İşlemin kesin ve doğru sonucu: -\frac{1}{2}

Eğer ek bir sorunuz veya farklı bir noktada tekrar kontrol isteğiniz varsa, lütfen belirtin! :blush:
@username