Aşağıdaki dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu, uzun kenar uzunluğunun kareköküne eşittir. Buna göre, bu dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?
Dikdörtgenin kısa kenar uzunluğunu ( a ), uzun kenar uzunluğunu ise ( b ) olarak alalım. Soruda verilenlere göre,
[ a = \sqrt{b} ]
olarak belirtilmiştir. Ayrıca, uzun kenar uzunluğu ( \sqrt[3]{12} ) cm olarak verilmiştir, bu durumda ( b = \sqrt[3]{12} ) olur.
Bu durumda kısa kenar uzunluğunu bulmak için:
[ a = \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt[3]{12}} = (\sqrt[3]{12})^{1/2} = \sqrt[6]{12} ]
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunur:
[ \text{Alan} = a \cdot b ]
[ \text{Alan} = \sqrt[6]{12} \cdot \sqrt[3]{12} ]
Bu ifadeyi düzenleyelim:
[ \text{Alan} = 12^{1/6} \cdot 12^{1/3} = 12^{1/6 + 1/3} = 12^{1/6 + 2/6} = 12^{3/6} = 12^{1/2} = \sqrt{12} ]
Sonuç olarak, dikdörtgenin alanı ( \sqrt{12} ) cm² olacaktır.
Doğru cevap: D) (\sqrt{12}).