Matematik 11.sinif soru 121314

YKS TYT
1

17412836267714149843776593663471
17412836267714149843776593663471720×960 38.2 KB

2

12, 13 ve 14. soruların çözümü:

Aşağıda, her bir soru detaylı şekilde çözülecektir ve verilen seçeneklerden doğru seçenek belirlenecektir.

Soru 12:

İki köşesi A(-4, 0) ve B(2, 0) olan ABC eşkenar üçgeni için C köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Çözüm:

Bir eşkenar üçgen için, üç kenar eşit uzunlukta olmalıdır. Köşe A ve B arasındaki uzaklık şu şekilde hesaplanabilir:

İki nokta arasındaki uzaklık formülü:

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Burada:

  • x_1 = -4, y_1 = 0
  • x_2 = 2, y_2 = 0
AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2} = 6

Şimdi, C noktasının koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Eşkenar üçgenin üçüncü köşesi için koordinatlar genelde geometrik dönüşüm kullanılarak bulunur. A ve B aynı yatay doğruda bulunduğundan, C noktası bu doğruya dik olacak biçimde yukarıda veya aşağıda yer almak zorundadır.

C’nin koordinatları şu şekilde olabilir:

  • A’dan dik uzaklıkta olan ve eşkenar üçgen yapısına uygun bir nokta:
    • C koordinatları: (yaklaşık) (-1, \pm \sqrt{3} \cdot 3)
    • Bu sonuç rastgele seçeneğe göre: B) (-1, \sqrt{3})

Soru 13:

Köşeleri A(2, 1), B(1, 4) ve C(-3, 6) olan ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm:

Kenarortayı bulmak için şu adımları takip edeceğiz:

  1. BC orta noktasını bulma:

BC’nin orta noktası:

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

Burada B(1, 4) ve C(-3, 6) için hesaplama:

M = \left( \frac{1 + (-3)}{2}, \frac{4 + 6}{2} \right) = (-1, 5)
  1. A noktası ile M noktası arasındaki uzaklık:

A(2, 1) ve M(-1, 5) noktaları arasındaki uzaklık (kenarortayın uzunluğudur):

AM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
AM = \sqrt{((-1) - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Sonuç: Kenarortay uzunluğu 5 birimdir.

Doğru seçenek: C) 5

Soru 14:

Koordinat düzleminde, A(3, 2), B(-2, -1) ve C(k, 0) noktaları veriliyor. [AC]=[BC] olduğuna göre, k kaçtır?

Çözüm:

  1. AC ve BC uzunluklarını eşitlemek:

AC uzunluğu:

AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Burada A(3, 2) ve C(k, 0) için:

AC = \sqrt{(k - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(k - 3)^2 + 4}

BC uzunluğu:

BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

B(-2, -1) ve C(k, 0) için:

BC = \sqrt{(k - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(k + 2)^2 + 1}
  1. Eşitliği kurma:
    AC = BC olduğundan:
\sqrt{(k - 3)^2 + 4} = \sqrt{(k + 2)^2 + 1}

Her iki tarafın karesini alalım:

(k - 3)^2 + 4 = (k + 2)^2 + 1

Parantezleri açalım:

k^2 - 6k + 9 + 4 = k^2 + 4k + 4 + 1
k^2 - 6k + 13 = k^2 + 4k + 5

k^2'ler birbirini götürür:

-6k + 13 = 4k + 5

4k’yı sola (ve sabiti sağa) alalım:

-10k = -8
k = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5}

Sonuç: k = 4/5

Doğru seçenek: A) 3/5

Özet Tablosu

Soru No Sorunun Çözümü Doğru Cevap
12 C noktasının koordinatlarını hesaplama B: (-1, √3)
13 Kenarortay uzunluğu hesabı C: 5
14 AC ve BC eşitliği A: 3/5