11. Soru Çözümü
Verilen çubuğun 70 cm uzunluğunda olduğunu biliyoruz ve bu çubuğu bir asal sayı uzunluğunda parçalara ayırmak istiyoruz. Burada en az kaç defa kesileceğini bulmamız gerekiyor. Çubuğu A yani asal sayı olan bir uzunlukta parçalara ayırdığımızı düşünelim.
- Çubuğun uzunluğu: 70 cm
- Parça uzunluğu: A (bir asal sayı)
Bu durumda 70’i A’ya böldüğümüzde bir tam bölme sağlamalıyız. Yani 70/A bir tam sayı olmalı. Şimdi asal sayıları tek tek kontrol ederek bölelim:
- 2: 70/2 = 35 (tam böler)
- 3: 70/3 ≈ 23.33 (bölmez)
- 5: 70/5 = 14 (tam böler)
- 7: 70/7 = 10 (tam böler)
- 11: 70/11 ≈ 6.36 (bölmez)
- vb.
Bu işlem sonucunda 70 cm’lik çubuğu en az kesme işlemiyle bölebilecek asal sayıları bulduk (2, 5, 7).
Kesme işlemi: Bölünen parça sayısı - 1
- 2 cm için: 35 parça - 1 = 34 kez kesilir
- 5 cm için: 14 parça - 1 = 13 kez kesilir
- 7 cm için: 10 parça - 1 = 9 kez kesilir
Sonuç: 70 cm’lik çubuk en az 9 kez kesilebilir (çubuk 7 cm’lik parçalara ayrılırsa).
12. Soru Çözümü
Verilen iki çubuğun uzunlukları:
- 38 cm ve 40 cm
Bu çubuklar bir dikdörtgenin kısa kenarları olacak şekilde birleştirilecektir. İlk olarak bu iki çubuğu üst üste koyup eksik kalan x kadar uzunluğu yerine ekleyeceğiz ki dikdörtgen tamamlanabilsin.
Bu durumda uzun kenarları eşit olan ve 38+40+x kadar uzun olan ve bir asal sayıya eşit olan bir x bulmamız gerekiyor.
Şimdi hesaplamalarımıza bakalım:
- Dikdörtgenin uzun kenarı: 38 + 40 + x
Dikdörtgenin kısa kenarı bir asal sayıya eşit olmalıdır. Başka bir deyişle, 78 + x bir asal sayı olduğunda, kısa kenar uzunluğu hesaplanır.
Kontrol edelim:
- 78 + 1 = 79: Asaldır.
- 78 + 3 = 81: Asal değildir.
- 78 + 5 = 83: Asaldır.
- devam…
Son olarak doğrudan temel durumu buluruz:
- Kısa kenarın asal sayı olma durumu iki pozitif tam sayı ile verildiği için ve en az asal sayı şartını sağladığı için 79 ve 83 sonuçlarını oluşturacaktır. Fakat en kısa parselleyebileceğimiz asal uzunluk en fazla 5’dir (yani İngiliz anahtarlıkla eşleşme durumu).
Sonuç: Yani, x = 5 cm.
13. Soru Çözümü
Bu soruda çubukların sayısı, en çok kaç adet çubuk olduğunu bulmak içindir. x < 40 ise, x bir asal sayı ve dizi merkezi bir çubuk içerecek kadar sıralanmıştır.
Bu tür bir düzenlemeden yararlanarak en fazla sayıda çubuk dizmek istiyoruz. Şimdi asal sayılar kontrol edilmiştir:
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, … , 37
- 31 ve 37 arasında bir merkez ayırmaya çalışacağız.
Bu sıradaki diğer olumlu çözümü; başka bir deyişle dizi içindeki çubuk sayısını azaltmadan merkez etrafında en fazla dağılımı bulmaya çalışacağız.
x = 31 olduğunda merkezde bir çubuk olduğunda toplam sayı 31 olacak. 31 çubuk toplamda merkezde eşit şekilde yan yana dizilmelidir.
Sonuç: En fazla 31 çubuğu dizilebilir.
Bu soruların yanıtları verilmiştir ve hesaplamalar bu biçimde kullanılarak öğrenciye sunulabilir.