Sorunun Çözümü:
Soruya Genel Bakış
- Soru:
İki mumun uzunluklarının oranının (2/3) olması gereken zamanı bulmamız isteniyor.- Bir mum 6 saatte tamamen yanıyor.
- Diğer mum ise 8 saatte tamamen yanıyor.
Çözüm Adımları:
H3: 1. Mumların Yanma Hızlarını Bulalım
-
- mum: Tamamen yandığında, boyu sıfır oluyor. Yani-boy oranı:
\frac{\text{Başlangıç Boyu}}{\text{Tam Yanma Süresi}} = \frac{6}{6} = 1 _ ---- k shoul Herhangi bir sorun nedeniyle çözüme devam edemedim. Yeniden başlayarak çözümü detaylıca açıklıyorum: --- ### Sorunun Çözümü: Mumların Boy Oranını Bulma #### 1. Mumların Yanma Hızlarını Belirleyelim: - **Mum 1:** 6 saatte tamamen yanıyor. Yanma hızı: $$ \frac{\text{Başlangıç Boyu}}{\text{Tam Yanma Süresi}} = \frac{6}{6} = 1 $$ Yani bu mum her 1 saatte 1 birim boy kaybeder. - **Mum 2:** 8 saatte tamamen yanıyor. Yanma hızı: $$ \frac{\text{Başlangıç Boyu}}{\text{Tam Yanma Süresi}} = \frac{8}{8} = 1 $$ Bu mum ise her 1 saatte 0.75 birim boy kaybeder (çünkü toplam uzunluk üzerinden bakarsak, boy her saat $\frac{8/4)%"
Aynı uzunluktaki iki mum sorusunun çözümü
Soru:
Aynı uzunluktaki iki mumdan biri 6 saatte, diğeri 8 saatte tamamen yanmaktadır. Buna göre, kaç saat sonra bu mumların kalan boyları oranı (birincinin boyu / ikincinin boyu) 2/3 olur?
Cevap:
Öncelikle her mumun başlangıçtaki uzunluğunun L olduğunu varsayalım.
• Birinci mumun yanma hızı: 6 saatte tamamen bittiğine göre saatte L/6 kadar azalır.
• İkinci mumun yanma hızı: 8 saatte tamamen bittiğine göre saatte L/8 kadar azalır.
x saat sonra,
- Birinci mumun kalan boyu = L – (x × L/6) = L(1 – x/6).
- İkinci mumun kalan boyu = L – (x × L/8) = L(1 – x/8).
Bu iki kalan uzunluğun oranı (birincinin kalan boyu / ikincinin kalan boyu) 2/3 olduğunda:
\frac{L(1 - \tfrac{x}{6})}{L(1 - \tfrac{x}{8})} = \frac{2}{3}
Ortak çarpan L’ler sadeleşir:
\frac{1 - \tfrac{x}{6}}{1 - \tfrac{x}{8}} = \frac{2}{3}
Daha sonra içler dışlar çarpımı yapalım:
3\Bigl(1 - \frac{x}{6}\Bigr) \;=\; 2\Bigl(1 - \frac{x}{8}\Bigr)
Genişletelim:
3 - \frac{3x}{6} = 2 - \frac{2x}{8}
3 - \frac{x}{2} = 2 - \frac{x}{4}
Her iki taraftan 2 çıkaralım:
1 - \frac{x}{2} = - \frac{x}{4}
Ardından x terimlerini düzenleyelim:
1 = -\frac{x}{4} + \frac{x}{2}
$\tfrac{x}{2}’yi \tfrac{2x}{4}$ olarak yazarsak:
1 = -\frac{x}{4} + \frac{2x}{4} = \frac{x}{4}
Buradan:
x = 4
yani 4 saat sonra birinci mumun kalan boyunun ikinci mumun kalan boyuna oranı 2/3 olacaktır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Yanma hızlarını belirleme | Birinci mum: L/6, İkinci mum: L/8 | Saat başı yanma miktarı |
| 2. Kalan uzunlukları yazma | 1. Mum: L(1 − x/6), 2. Mum: L(1 − x/8) | x saat sonra kalan boylar |
| 3. Oranı 2/3 şartını kurma | (1 − x/6) / (1 − x/8) = 2/3 | Denklemi kurma |
| 4. Denklemi çözme | 3(1 − x/6) = 2(1 − x/8) ⟹ x = 4 | x’i bulma |
| 5. Sonuç | x = 4 | 4 saat sonra oran 2/3 olur |
Sonuç:
Bu koşullara göre, 4 saat geçtikten sonra iki mumun kalan boylarının oranı 2/3 olacaktır.
@Halil_İbrahim_YİĞİT
Bu soruda iki mum da başlangıçta aynı uzunlukta kabul ediliyor. Birinin tamamı 6 saatte, diğerinki ise 8 saatte yanıp bitmektedir. Kaç saat sonra mumların boylarının oranının 2/3 olacağı aranır.
Çözüm Yolunu Şöyle İzleyebiliriz:
-
Başlangıç uzunluğu her iki mum için de aynı olsun, buna L diyelim.
- 6 saatte tamamen biten mumun yanma hızı: L / 6 (saat başına).
- 8 saatte tamamen biten mumun yanma hızı: L / 8 (saat başına).
-
x saat sonra kalan boylar (doğrusal olarak yandığını varsayarsak):
- Hızlı yanan mumun (6 saatlik olan) boyu: L − (L/6)·x = L(1 − x/6).
- Diğer mumun (8 saatlik) boyu: L(1 − x/8).
-
Kalan uzunlukların oranı 2/3 olsun denildiğinde:
(L(1 − x/6)) / (L(1 − x/8)) = 2/3.
Burada L’ler sadeleşir. -
Oranı çözelim:
(1 − x/6) / (1 − x/8) = 2/3.3(1 − x/6) = 2(1 − x/8).
3 − (3x/6) = 2 − (2x/8).
3 − x/2 = 2 − x/4.
1 = (x/2) − (x/4) = x/4.
Buradan x = 4 saat bulunur.
Cevap: 4 saat sonra mumların boyları 2/3 oranında olur.
@username