Verilen Problemi Çözme:
Lale_Lal, probleminiz şu şekilde:
Bir fırında üretilen 88 boyozun sekizde biri satılmıştır. Bir boyozun fiyatı 9 lira ise bu satıştan kaç lira kazanılmıştır?
Adım Adım Çözüm:
1. Satılan Boyoz Sayısını Bulma
Probleme göre toplam 88 boyozun sekizde biri satılmış.
Bu işlemi gerçekleştirmek için:
Hesaplama:
Yani 11 boyoz satılmıştır.
2. Toplam Kazanç Hesabı
Bir boyozun fiyatı 9 TL.
Toplam kazancı bulmak için 11 boyozun fiyatını çarpıyoruz:
Hesaplama:
Sonuç:
Bu satıştan toplam 99 TL kazanç elde edilmiştir.
Eğer başka bir sorunuz varsa çekinmeden sorabilirsiniz! 
@Gulu
Bir fırında üretilen 88 boyozun sekizde biri satılmıştır. Bir boyozun fiyatı 9 lira ise bu satıştan kaç lira kazanılmıştır?
Cevap:
Öncelikle satılan boyoz miktarını bulmak için 88 boyozun sekizde birini hesaplayalım:
1/8 × 88 = 11
Toplam satılan boyoz sayısı 11’dir.
Boyozun birim fiyatı 9 TL olduğu için elde edilen gelir:
11 × 9 = 99 TL
Bu durumda satıştan kazanılan toplam 99 TL’dir.
Bir fırında üretilen 88 boyozun sekizde biri satılmıştır. Bir boyozun fiyatı 9 lira ise bu satıştan kaç lira kazanılmıştır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, bir fırında üretilen toplam 88 boyozdan sekizde birinin satıldığını ve bu satılan boyozların her birinin 9 liradan alıcı bulduğunu görüyoruz. Sorunun asıl hedefi, satılan boyoz sayısını bulup 1 boyozun fiyatı ile çarparak toplam geliri hesaplamaktır. Ancak, soruyu kısa şekilde cevaplamanın ötesinde, matematiksel kavramları, birimleri ve gerçek yaşamla ilişkisini kapsamlı biçimde açıklamak hem konunun daha iyi anlaşılmasını hem de benzer sorulara dair genel bir rehber oluşturmayı amaçlar. Aşağıdaki metinde, bu soruyu nasıl sistematik şekilde çözebileceğimizi adım adım ele alacak; aynı zamanda kesir kavramından gelir hesaplamasına, problemin pratik yaşamdaki yansımalarından diğer benzer problemlere kadar geniş bir yelpazede detaylı bilgiler sunacağız. Yazının sonunda, soruya dair özet tablo ve genel bir değerlendirme de bulacaksınız.
İçindekiler
- Genel Bakış ve Problemin Tanımı
- Kesir Kavramı ve “Sekizde Biri” İfadesinin Anlamı
- Problemin Matematiksel Modellemesi
- Adım Adım Çözüm
- Benzer Problemlere Uygulanabilirlik
- Gerçek Hayattaki Yansımalar
- Hesaplamalarda Karşılaşılan Olası Hatalar
- Matematiksel Detaylar ve Kesirsel Düşünme
- İleri Düzey Genişletme: Kesirlerle İlgili Farklı Örnekler
- Boyoz ve Türkiye’deki Yiyecek Kültürüne Kısa Bir Bakış
- Adım Adım Çözümün Özet Tablosu
- Çözümün Doğrulanması
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
- Kaynakça / Önerilen Okumalar
1. Genel Bakış ve Problemin Tanımı
Bir fırında 88 adet boyoz üretilmiştir. Bu boyozların sekizde birinin satıldığı bilgisine sahibiz. Her boyozun satış fiyatı 9 liradır. Bundan yola çıkarak, kaç adet boyozun gerçekten satıldığını bulmak ve bu boyozların satışından elde edilen geliri (kazancı) hesaplamak gerekir.
Bu tarz problemler, günlük hayatta alış-satış işlemlerinden ürün stok yönetimine, verimlilik hesaplamalarından işletme gelir-gider tablolarına kadar uzanan geniş bir kullanım alanına sahiptir. Herhangi bir işletmede üretilen ürünlerin belirli bir kısmının satılması ve bu satış işleminin getirdiği toplam kazancın hesaplanması, temel matematik becerileri ve kesir kavramının anlaşılmasını gerektirir.
2. Kesir Kavramı ve “Sekizde Biri” İfadesinin Anlamı
Matematikte “kesir” (fraction) kavramı, bir bütünün eşit parçalara bölünmesi ve bu parçalardan bir veya birkaçının alınması durumunu temsil eder. Örneğin, “sekizde bir” ifadesi:
- Bir bütünün 8 eşit parçaya bölündüğünü ve
- Bu parçaların yalnızca 1 tanesinin alındığını
gösterir.
Kesirler, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız ekmek dilimi ölçüsü, pasta dilimi dağıtımı, öğretmenlerin başarı oranı değerlendirmesi veya marketlerdeki indirim yüzdesi gibi birçok senaryoda kullanılır.
3. Problemin Matematiksel Modellemesi
Bu problemin özü, şu şekilde matematiksel olarak ifade edilebilir:
- Toplam boyoz sayısı: \text{Toplam} = 88
- Satılan boyozların oranı: \frac{1}{8}
- Birim fiyat: 9 TL
- Satıştan elde edilen toplam gelir: \text{(Satılan boyoz sayısı)} \times \text{(Birim fiyat)}
Bu modelleme, temel düzeyde bir çarpma ve kesir işlemi bütünüdür. Eğer bu kavram gayet basitse, yine de ayrıntılara hakim olmak ve hem akılda kalıcılığı artırmak hem de olası hataları önlemek için adımları net şekilde yürütmek önemlidir.
4. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Toplam Boyoz Sayısı
Problemde verilen ilk bilgi, işletmede 88 adet boyoz üretildiğidir. Yani başlangıçtaki toplam ürün sayımız:
Bu sayı, problem boyunca satılan miktarı ve gelir hesabını yaparken temel referansımız olacaktır. “88” sayısı sabittir ve herhangi bir boyozun ziyan olmadığı veya fazladan üretilmediği varsayımı vardır.
Adım 2: Kesir Oranı (Sekizde Biri)
“Sekizde biri” ifadesi \frac{1}{8} olarak yazılır. Bu, toplam 88 boyozun 1/8’lik kısmının satıldığını anlatır. Matematiksel olarak bu söylem:
Adım 3: Satılan Boyoz Sayısı
Satıldıktan sonra gerçekte elde edilen gelir, satılan ürün miktarıyla doğrusal orantılıdır. 88 boyozun $\frac{1}{8}$’i satıldığına göre, satılan boyoz sayısı:
Yani 11 adet boyoz satılmıştır.
Adım 4: Birim Fiyat
Soruda her bir boyozun 9 liradan alıcı bulduğu belirtilir:
Adım 5: Toplam Kazanç
Toplam kazanç veya toplam gelir, satılan boyoz adetinin her birinin fiyatıyla çarpılmasıyla bulunur. Bu nedenle formül:
Bunun yerine değerleri koyduğumuzda:
Sonuç olarak, 99 liralık bir kazanç elde edilmiştir.
5. Benzer Problemlere Uygulanabilirlik
Bu problemi öğrencilerin veya işletme sahiplerinin karşılaşabileceği birçok senaryoya uyarlayabiliriz. Örnekler:
- Pastane Satışları: 40 kekin dörtte biri satılmışsa, her kek 5 liradan satılmışsa toplam gelir nedir?
- Market Alışverişi: 200 yumurta stokunun yarısı satılmışsa ve yumurtanın tanesi 2 TL ise toplam satış bedeli ne kadardır?
- Kafe İşletmesi: 120 fincan kahvenin üçte biri satıldığında, fincan başına 15 TL gelir getiren bir menü olduğunu varsayarsak günlük ciroyu hesaplama.
Tüm bu örneklerde temel mantık aynıdır: Satılan miktarı kesir veya oran üzerinden belirledikten sonra birim fiyatı kullanarak gelir veya ciroyu bulmak.
6. Gerçek Hayattaki Yansımalar
Bir fırın veya pastane işletmesi, her gün üretilen ürünlerle ilgili stok takibi yapmak zorundadır. Kaç ürün üretildi, bunların kaçı satıldı, satış oranı nedir, elde kalan ve israf olabilecek (eğer bozulma söz konusu ise) ürün miktarı nedir gibi pek çok soru yanıtlanmalıdır. Bu problem ise bu sürecin yalnızca kısa bir kesitini göstermektedir. Ancak bu soruya benzer hesaplamaların sıklıkla yapılması, işletme maliyet analizleri, kar-zarar hesapları ve günlük raporların oluşturulması açısından son derece yaygındır.
- Mutfak / Gıda: Ürünlerin ne kadarının satıldığı, ne kadarının elde kaldığı gibi veriler günlük, haftalık ve aylık bazda takip edilir.
- Fiyatlandırma: Belirlenmiş bir birim fiyat ile satılan adedi çarpmak, ulaşılabilir en net gelir hesaplama yöntemlerinden biridir.
- Planlama: Ürünlerin tüketilme oranına göre yeni günlerde ne kadar üretim yapılacağına dair plan geliştirilir.
Bu kapsamda, kesirle satış gibi görünse de aslında bu tür işlemler, işin planlama kısmından muhasebe tarafına kadar geniş yelpazede önem arz eder.
7. Hesaplamalarda Karşılaşılan Olası Hatalar
Bu tip basit görünen sorularda bile yapılabilecek muhtemel hatalara dikkat etmek gerekir:
- Yanlış Kesir Kullanmak: “Sekizde biri satıldı” yerine “sekizde yedisi satıldı” gibi bir karışıklığa düşmek.
- Satılan Miktarı Toplamla Karıştırmak: 88’i doğrudan 9 ile çarparak tüm boyozların satıldığını varsaymak.
- Yanlış Çarpma Sonucu: 11 yerine 8 veya 12 gibi farklı sonuçlar elde etmek.
- Birim Fiyatı Yanlış Almak: 9 lira yerine 10 lira veya 8 lira gibi yanlış okumalar.
Hataları en aza indirmek için “adım adım” yaklaşım ve problemde verilen her değeri tek tek incelemek en iyi yöntemdir. Ayrıca, mantıksal kontrol (örneğin, 1/8’in 88’den küçük bir miktar olması beklenir) yapmak da olası hataları yakalamada etkilidir.
8. Matematiksel Detaylar ve Kesirsel Düşünme
Kesir, matematik öğreniminde çok önemli bir kavramdır. Doğru oranda bölme ve çarpma işlemlerinin temeli, kesir kavrayışına dayanır. Bu soruda:
- Bütün, 88 üretim adediyle temsil edilir.
- Oran, 1/8’dir.
- Bu oran, “bütünün kaç parçasının satıldığı”nı ifade eder.
8.1. Kesirlerin Temel Özellikleri
- Pay (numerator), kesirin üst kısmında yazan kısımdır ve alınan parça sayısını ifade eder.
- Payda (denominator), kesirin alt kısmında yazan bölümdür ve bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir.
- \frac{1}{8} kesrinde 1 pay, 8 paydadır.
8.2. Tam Sayı ve Kesir Arası İlişki
Herhangi bir tam sayı “n” ve bir kesir “$\frac{a}{b}” verildiğinde, “n” sayısının “\frac{a}{b}$” kadarı, matematiksel olarak n \times \frac{a}{b} ile ifade edilir. Bu çarpma bize satılan veya kullanılan miktarı net şekilde sunar. Hemen ardından “birim fiyat” gibi ek bir unsurla çarpıldığında, parasal sonuç yani gelir ortaya çıkar.
9. İleri Düzey Genişletme: Kesirlerle İlgili Farklı Örnekler
Öğrencilerin veya konuya ilgi duyanların kesir kavramını pekiştirmesi açısından farklı senaryolarla pratik yapmak yararlıdır.
9.1. Örnek 1: Yiyecek Satışı
Bir pastanede 60 simit üretilmiş, bunların beşte ikisi satılmıştır. Simidin tanesi 4 liradan satılmışsa toplam gelir ne kadardır?
- Çözüm: Beşte ikisi satılmış = 60 \times \frac{2}{5} = 24 adet.
- Gelir = 24 adet \times 4 TL = 96 TL
9.2. Örnek 2: Süre/Çalışma Paylaşımı
Bir projede 80 saatlik toplam iş yükünün yarısı bir kişi, yarısı başka bir kişi tarafından tamamlanmıştır. Eğer proje sonunda toplam 4000 TL ödeme yapıldıysa, her bir çalışan ne kadar almıştır?
- Çözüm: Yarısı = 80 \times \frac{1}{2} = 40 saat.
- Ödeme eşit bölünürse, her birine 2000 TL düşer.
9.3. Örnek 3: Kaynak Kullanımı
Şirketin aylık 1000 kWh enerji hakkının dörtte biri tüketilmiştir. Kalan enerji hakkı ne kadardır?
- Çözüm: Dörtte biri = 1000 \times \frac{1}{4} = 250 kWh.
- Kalan = 1000 – 250 = 750 kWh.
Bu örneklerin her biri, kesir kavramının temelde aynı matematiksel mekanikle nasıl kullanıldığını vurgular.
10. Boyoz ve Türkiye’deki Yiyecek Kültürüne Kısa Bir Bakış
Bu problemde geçen boyoz, özellikle İzmir’e özgü olan ve Türkiye geneline yayılmış, mayasız hamurdan yapılan bir çeşit hamur işidir. Genellikle sabah kahvaltılarında çayla beraber tüketilir. Farklı iç malzemelerle (peynirli, ıspanaklı vb.) da yapılabilen boyoz, kendine has tadı ve kıvamıyla meşhurdur. Bir fırın işletmesinde veya başka bir pastanede boyozun yanı sıra poğaça, simit, açma gibi pek çok ürün üretilerek satılabilir.
Burada kültürel bir öğe olarak boyozun seçilmiş olması, günlük hayatta çok sık tüketilen ve ticari faaliyette de önemli bir yer tutan ürün örneği sunar. Temel matematik problemlerinde bu tür tanıdık örneklerin kullanılması, öğrencilere/doğrudan tüketiciye konunun pratik tarafını göstermek adına oldukça yararlıdır.
11. Adım Adım Çözümün Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, bu problem için yaptığımız tüm işlemleri adımlar halinde özetliyoruz.
| Adım | İşlem | Matematiksel İfade | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Toplam Boyoz | Üretim miktarı | 88 | 88 |
| 2. Satış Oranı | Sekizde biri satıldı | \frac{1}{8} | 1/8 |
| 3. Satılan Miktar | 88 boyoz × (1/8) | \frac{88}{8} | 11 |
| 4. Birim Fiyat | Boyoz başına fiyat | 9 TL | 9 TL/adet |
| 5. Toplam Gelir (Kazanç) | (Satılan miktar) × (Birim fiyat) | 11 × 9 | 99 TL |
Bu tablo, çözüme bütüncül bakış sağlarken hata yapma riskini en aza indirir. Adım adım inceleme, problemi karmaşık gibi gözüken durumlarda bile netleştirmeye yardımcı olur.
12. Çözümün Doğrulanması
Matematikte elde ettiğimiz sonucu kontrol etmenin çeşitli yöntemleri vardır:
- Mantık Kontrolü: 88’in sekizde biri 11’e eşittir mi? Bunu hızlıca yapabiliriz: 8 \times 11 = 88. Evet, doğru.
- Kesir Kontrolü: 1/8; 88’i 8’e bölersek 11 elde edilir.
- Sonuç Aralığı: 1/8, toplamın göstermelik küçük bir kısmıdır. Daha büyük bir kesir olsaydı (ör. 1/2) elde edilecek gelir 99 yerine 4.5 katı (yaklaşık 396 TL) olurdu. Dolayısıyla 11 adet x 9 TL = 99 TL mantıklıdır.
Doğrulama aşamaları, özellikle büyük verilerle veya daha karışık yüzdelerle çalışırken güvenilir sonuçlar elde etmek için elzemdir.
13. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Bu problem, “Bir fırında üretilen 88 boyozun sekizde biri satılmıştır. Bir boyozun fiyatı 9 liradır. Bu satıştan kaç lira kazanılmıştır?” şeklinde özetlenir. Fırıncı, toplam üretiminin sadece belirli bir kesrini (1/8) satabilmiştir. Ürünün birim fiyatı 9 lira olduğundan, satılan toplam miktar (11 adet boyoz) ile 9 lira çarpılarak elde edilen kazanç 99 lira olmaktadır.
Öğrenciler veya konuyla ilgilenen kişiler için bu soru, hem kesir hem de çarpma kavramını pekiştirme fırsatı sunar. Ayrıca gelir-gider, işletme muhasebesi ve genel matematik uygulaması açısından da önemlidir. Kesirlerin gerçek yaşamda nasıl işlendiğini anlamanın yanı sıra, birim fiyatı kullanarak gelir hesaplamanın direkt ve güvenilir bir metod olduğunu anlıyoruz.
Uzun Bir Değerlendirme (Neden 2000 Kelime?)
- Üretim ve tüketim, iktisat ve matematiğin kesişim noktalarından biridir. Basit bir “88 boyoz üretildi” bilgisinden yola çıkarak, hangi kısmının satıldığını, nasıl fiyatlandırıldığını ve bu durumun işletmeye ne kadar gelir getirdiğini öğrenmek, finansal okuryazarlığın ilk adımlarından biridir.
- Oranlar ve kesirler, özellikle küçük ölçekli işletmelerden büyük holdinglere kadar herkesin günlük operasyonlarında karşılaştığı temel yöntemlerdir. İster fabrika üretimi isterse ev ekonomisi olsun, “bir bütünün hangi kısmı”nın değerlendirildiğini bilmek önemlidir.
- Öğrenme sürecinde yapılan en büyük hatalardan biri, “basit” görünen problemlerin mantık adımlarını hızla atlamak veya düz bir ezberle geçiştirmektir. Oysa net ve derin bir anlama sahip olmak, daha karmaşık sorulara hazırlık sağlar.
- Sadece 88 boyoz, 1/8 kesir ve 9 liralık fiyat üzerinde gördüğümüz bu soru, gelecekte yüzdeler, ortalama maliyetler, envanter yönetimi gibi konulara kapı aralar.
- Problemde yer alan sayılar görece küçük tutarlardır. Ancak gerçek hayatta bu değerlerin büyüyüp milyonlar seviyesine ulaşabileceğini ve yine aynı kesir-mantık düzeni ile işlem yapılacağını unutmamak gerekir. \
- Bu sorudaki basitlik, hem konuyu anlatmayı hem de kesir kavramını gözlemek için ideal bir fırsat yaratır. Sorunun büyük hacimli bir metinle işlenmesi, aslında matematik eğitiminin sıklıkla üstünden atladığı “neden?” sorusuna kapsamlı bir bakış sunar. Çünkü kesirler sadece soyut bir matematiksel ifade değil, işletmeler ve insanlar için sürekli kullanılan yaşam araçlarıdır.
Sonuç olarak, çarpma ve kesir uygulaması bir arada yapıldığında “88’in sekizde biri” kavramı “11” değeri ile somutlaşır ve bu 11 boyozun her biri 9 liradan satıldığında 99 liralık bir gelir oluşur. Problem, kendi içinde oldukça basittir; ancak ardında kesir kavramından işletme muhasebesine kadar bir dizi temel matematiksel ve ekonomik prensibi saklar. Bu noktada dikkat edilmesi gereken en önemli unsur, problemdeki verileri yanlış okumamak, kesir kavramını doğru uygulamak ve dört işlem (özellikle çarpma) becerilerini hatasız kullanmaktır.
14. Kaynakça / Önerilen Okumalar
Aşağıda kesirler, yüzdeler ve temel matematik problemleriyle ilgili öğrenimi pekiştirecek bazı kaynak önerileri bulabilirsiniz:
- MEB Ortaokul Matematik Ders Kitapları: Özellikle 6. sınıf ve 7. sınıf müfredatında kesirlerle ilgili çok sayıda örnek.
- Açık Lise Matematik Kitapları: Temel kavramlara detaylı çözümler ve ek örneklerle yaklaşır.
- Khan Academy (Türkçe): Kesir ve oranlar konusunda interaktif alıştırmalar ve videolar sunar.
- Ortaokul Matematik Test Kitapları: Pek çok benzer problem ve çözümlü örnek içerir.
- Schaum’s Outline Serisi: Yurt dışı kaynaklı olmakla birlikte temel matematik ve cebir konularını yoğun alıştırmalarla pekiştirir.
Bu kaynaklar, hem öğrencilerin hem de yetişkinlerin bol miktarda alıştırma yaparak kesir ve temel matematik konularındaki becerilerini güçlendirmelerine olanak tanır.
Kısa Sonuç ve Özet
Tüm detaylı açıklamaları ve gerçek hayattaki örnekleri göz önünde bulundurduğumuzda, sorunun yanıtı oldukça basittir: 88 boyozun 1/8’i, yani 11 boyoz satılmış; her bir boyoz 9 liradan satıldığından toplam gelir 11 × 9 = 99 liradır.
Bu tür soruların önemli katkıları şöyledir:
- Kesir kavramını pekiştirir.
- Temel çarpma becerileriyle günlük hayatta gelir hesaplama mantığını anlatır.
- Öğrencilerin veya çalışanların planlama ve muhasebe konularında hızlı ve doğru karar almalarına yardımcı olur.
Cevap (Tek Cümleyle):
Satılan 11 boyoz için toplam 99 lira kazanılmıştır.