Mat 14 hayw

YKS TYT
1

1741521486444781265712568781921
1741521486444781265712568781921720×960 25.4 KB

2

Soru:

A, B ve C birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ABC üç basamaklı doğal sayısı 9 ile, AC iki basamaklı doğal sayısı 5 ile, CB iki basamaklı doğal sayısı 4 ile tam bölünmektedir. Buna göre, \frac{A + C}{B} oranı kaçtır?

Çözüm:

Soruda verilenleri dikkatle inceleyerek adım adım çözüm yapacağız:

Verilen Bilgiler:

  1. ABC üç basamaklı doğal sayı 9’a bölünebilir.
  2. AC iki basamaklı doğal sayı 5’e bölünebilir.
  3. CB iki basamaklı doğal sayı 4’e bölünebilir.
  4. A, B ve C birbirinden farklı rakamlardır.

Adım 1: ABC’nin 9 ile bölünebilme kuralı

Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamların toplamı (A + B + C) 9’un katı olmalıdır. Buna göre:

A + B + C = 9k \, (k \, bir \, pozitif \, tam \, sayı)

Adım 2: AC’nin 5 ile bölünebilme kuralı

Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamı 0 veya 5 olmalıdır. AC iki basamaklı bir sayı olduğuna göre, C’nin değeri yalnızca 5 olabilir.

Sonuç: C = 5

Adım 3: CB’nin 4 ile bölünebilme kuralı

Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağı 4’ün katı olmalıdır. CB iki basamaklı bir sayı olduğuna göre:

  1. C = 5 olduğundan, CB = 10 \times B + C = 10B + 5.
  2. Bu ifadenin 4’e tam bölünebilmesi için:
10B + 5 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 4)

Bu eşitliği çözelim:

  • 10 \equiv 2 \, (\text{mod} \, 4) olduğundan:
2B + 5 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 4)
  1. 5 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4) olduğundan:
2B + 1 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 4)
  1. 2B \equiv -1 \, (\text{mod} \, 4). Negatif mod yerine pozitif eşdeğeri düşünürsek:
2B \equiv 3 \, (\text{mod} \, 4)
  1. B için çözüm yapalım:
    B'nin alabileceği rakamlar (0, 1, 2, …, 9). Bu sıradan B şu değerleri alır:
  • B = 1, 5, 9

Ancak, C ve B birbirinden farklı rakamlar olmalı. C = 5 olduğundan, B = 1 veya 9 olabilir.

Adım 4: ABC’nin 9 ile bölünebilirliği

A, B ve C’nin toplamı 9’un katı olacak. Her bir durum için kontrol yapalım:

1. Durum: B = 1

  • A + 1 + 5 = A + 6
  • A + 6 9’un katı olmalı. Buradan:
A = 3 \, (\text{çünkü } A + 6 = 9 \text{ oluşur})

Bu durumda:

  • A = 3
  • B = 1
  • C = 5

ABC = 315 olur ve kontrol edelim:

  • 315 / 9 = 35. (9’a tam bölünüyor)

CB = 15 olur ve:

  • 15 / 4 = 3.75 (4’e tam bölünemiyor, bu durum elenir!)

2. Durum: B = 9

  • A + 9 + 5 = A + 14
  • A + 14 9’un katı olmalı. Buradan:
A = 4 \, (\text{çünkü } A + 14 = 18 \text{ oluşur}).

Bu durumda:

  • A = 4
  • B = 9
  • C = 5

ABC = 495 olur ve kontrol yapalım:

  • 495 / 9 = 55. (9’a tam bölünüyor)

CB = 95 olur ve:

  • 95 / 4 = 23.75 (4’e tam bölünemez)

kerennip