Soru:
Bir tabeladaki kareler kırmızı ya da beyaz renk aydınlatma ışıklarıyla aydınlatılıyor. Her bir kare içinde bir harfin bulunduğu 5 kareden oluşan bir tabelada, aydınlatmanın belirli kurallara göre yapılması gerekmektedir:
- Yan yana bulunan iki kare aynı anda kırmızı renkte aydınlatılmayacaktır.
- Bu durumda tabloda iki kare kırmızı ışık ile aydınlatılacaktır.
Tabelanın aydınlatılması her açıldığında kurala uygun biçimde rastgele yeniden düzenlendiğine göre, tabelanın ışıkları açıldığında, “A” harflerinin bulunduğu karelerin farklı renk ile aydınlatılma olasılığı kaçtır?
Cevap:
Tabelada 5 kare bulunmakta ve bunlardan yalnızca 2 tanesi kırmızı ışıkla aydınlatılacaktır. İki kırmızı kare yan yana gelmemek zorundadır. Biz de “A” harflerinin (2. ve 4. kareler) farklı renkte aydınlatılma olasılığını hesaplayacağız.
Adım 1: Olasılık Alanını Tanımla
Olası kombinasyonları düşünelim. 2 kırmızı, 3 beyaz kare kombinasyonları mümkün:
- m k kırmızı, w beyaz kare (yapılacak bir düzenleme olmadığı için burada tek bir kombinasyon olur).
- m k beyaz, m kırmızı (3 farklı düzenleme):
- K M B B M
- M B K B M
- M B B K M
- m beyaz, w kırmızı (benzer şekilde 3 farklı düzenleme olur):
- B M B M K
- B M K M K
- B B M M K
Adım 2: Koşullu Olasılık Hesapla
-
Harflerin bulunduğu karelerin farklı renkte aydınlatıldığı durumlarda, ikinci “A” harfi beyaz, dördüncü “A” harfi kırmızı olmalı veya tam tersi olmalı.
-
“M”, “B”, “B”, “K”, “V” düzenlemelerinden hangilerinde bu olur:
- M K B B M (olmaz, çünkü 1. ve 2. kırmızı)
- M B K B M (her üçünden biri olacaktır, çünkü başka kombinasyonları yok)
- M B B K M (olmaz, çünkü 3. başlık olanları kapsar)
Adım 3: İkinci Durumlar
- B M B M K
- B M K M K
- ve 3. durumlarda bu da benzer olarak diğer konumlama ifade edilmeli bir durumda olur. Herbiri yalnızca bir yerleştirme yerine tam bir alanı kapsıyoruz.
Adım 4: Sonuçta Sonuçlar Uygulanır
5 possibilitelerden biri uygun olduğunda, “A” harfleri farklı renkle %1/3 olasıdır.
Final Cevap:
D seçeneği olan \frac{1}{3} chance of differenti çalışılan bir kurulum olacaktır.