Küme sorusuuu

YKS TYT
1

20250301_223047
20250301_2230473060×4080 1.86 MB

2

Küme Sorusu Çözümü

Soruya göre verilen kümeler ile ilgili bağlamları dikkatlice inceleyelim. Soruda aralarında C ⊆ B ⊆ A bağıntısı olduğu belirtiliyor. Daha sonra şu eşitlikler verilmiş:

  • s(B \times C) = 20
  • s((A - C) \times (B - C)) = 7

Bizden istenen:
s(A \times B) değeri nedir?

Çözümün Planı

  1. Kümeler arasındaki bağıntıları ve çarpım kavramını anlayalım.

    • s(B \times C) demek, küme çarpımlarının eleman sayısı anlamına gelir. Yani:
      s(B \times C) = s(B) \cdot s(C)
      Bu bilgi bize şu denklemi verir:
      s(B) \cdot s(C) = 20

  2. İkinci verilen eşitliği analiz edelim:

    • s((A - C) \times (B - C)) = 7
      Burada, küme çarpımının eleman sayısı şu şekilde ifade edilir:
      s((A - C) \times (B - C)) = s(A - C) \cdot s(B - C)
      Dolayısıyla bu eşitlik şu anlama gelir:
      s(A - C) \cdot s(B - C) = 7

  3. Bilgilerimizi ve bağıntılarımızı organize edelim.

    Küme Eleman Sayılarını Tanımlayalım:

    • s(A) = a : A kümesinin eleman sayısı.
    • s(B) = b : B kümesinin eleman sayısı.
    • s(C) = c : C kümesinin eleman sayısı.

    Bu durumda yukarıdaki verilere göre:

    • b \cdot c = 20
    • (a - c) \cdot (b - c) = 7

  4. Sorunun asıl istediği s(A \times B) 'yi yazalım:

    • s(A \times B) formülü:
      s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)
      Yani bu ifade, s(A) = a ve s(B) = b kullanılarak hesaplanabilir.

Adım Adım Hesaplama

1. Birinci Denklem: b \cdot c = 20

Bu denklemden c 'yi b 'ye bağlı şekilde ifade edebiliriz:

c = \frac{20}{b}

2. İkinci Denklem: (a - c) \cdot (b - c) = 7

Bu denklemi yerine koyduğumuzda:

(a - \frac{20}{b}) \cdot (b - \frac{20}{b}) = 7

Bu ifadeyi açalım:

\Big(a - \frac{20}{b}\Big) \cdot \Big(b - \frac{20}{b}\Big) = 7
(ab - a \cdot \frac{20}{b} - \frac{20}{b} \cdot b + \frac{20^2}{b^2}) = 7
ab - 20a/b - 20 + 400/b^2 = 7

Bu denklem çok karmaşık göründüğünden sayılarla ilerleme yapabiliriz.

Sayı Denemeleri ile Çözüm

Denklemleri çözmek ve b ile c arasındaki ilişkiyi sağlayacak uygun sayıları bulmak için b = 5 , c = 4 seçebiliriz.

  • b \cdot c = 5 \cdot 4 = 20 (sağlanıyor).
  • Aynı şekilde, (a - c) \cdot (b - c) = 7 için:
    • (a - 4) \cdot (5 - 4) = 7
    • a - 4 = 7 → a = 11 .

Sonuç Hesaplama

Artık her şeyi yerine koyabiliriz:

  • s(A) = a = 11 ,
  • s(B) = b = 5 .

Buna göre:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 11 \cdot 5 = 55

Cevap

\boxed{E) 55}