Küme sorusuuu

YKS TYT
1

20250301_223047
20250301_2230473060×4080 1.86 MB

2

Küme Sorusu Çözümü

Soruya göre verilen kümeler ile ilgili bağlamları dikkatlice inceleyelim. Soruda aralarında C ⊆ B ⊆ A bağıntısı olduğu belirtiliyor. Daha sonra şu eşitlikler verilmiş:

  • ( s(B \times C) = 20 )
  • ( s((A - C) \times (B - C)) = 7 )

Bizden istenen:
( s(A \times B) ) değeri nedir?

Çözümün Planı

  1. Kümeler arasındaki bağıntıları ve çarpım kavramını anlayalım.

    • ( s(B \times C) ) demek, küme çarpımlarının eleman sayısı anlamına gelir. Yani:
      [
      s(B \times C) = s(B) \cdot s(C)
      ]
      Bu bilgi bize şu denklemi verir:
      [
      s(B) \cdot s(C) = 20
      ]

  2. İkinci verilen eşitliği analiz edelim:

    • ( s((A - C) \times (B - C)) = 7 )
      Burada, küme çarpımının eleman sayısı şu şekilde ifade edilir:
      [
      s((A - C) \times (B - C)) = s(A - C) \cdot s(B - C)
      ]
      Dolayısıyla bu eşitlik şu anlama gelir:
      [
      s(A - C) \cdot s(B - C) = 7
      ]

  3. Bilgilerimizi ve bağıntılarımızı organize edelim.

    Küme Eleman Sayılarını Tanımlayalım:

    • ( s(A) = a ): ( A ) kümesinin eleman sayısı.
    • ( s(B) = b ): ( B ) kümesinin eleman sayısı.
    • ( s(C) = c ): ( C ) kümesinin eleman sayısı.

    Bu durumda yukarıdaki verilere göre:

    • ( b \cdot c = 20 )
    • ( (a - c) \cdot (b - c) = 7 )

  4. Sorunun asıl istediği ( s(A \times B) )'yi yazalım:

    • ( s(A \times B) ) formülü:
      [
      s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)
      ]
      Yani bu ifade, ( s(A) = a ) ve ( s(B) = b ) kullanılarak hesaplanabilir.

Adım Adım Hesaplama

1. Birinci Denklem: ( b \cdot c = 20 )

Bu denklemden ( c )'yi ( b )'ye bağlı şekilde ifade edebiliriz:
[
c = \frac{20}{b}
]

2. İkinci Denklem: ( (a - c) \cdot (b - c) = 7 )

Bu denklemi yerine koyduğumuzda:
[
(a - \frac{20}{b}) \cdot (b - \frac{20}{b}) = 7
]

Bu ifadeyi açalım:
[
\Big(a - \frac{20}{b}\Big) \cdot \Big(b - \frac{20}{b}\Big) = 7
]
[
(ab - a \cdot \frac{20}{b} - \frac{20}{b} \cdot b + \frac{20^2}{b^2}) = 7
]
[
ab - 20a/b - 20 + 400/b^2 = 7
]

Bu denklem çok karmaşık göründüğünden sayılarla ilerleme yapabiliriz.

Sayı Denemeleri ile Çözüm

Denklemleri çözmek ve ( b ) ile ( c ) arasındaki ilişkiyi sağlayacak uygun sayıları bulmak için ( b = 5 ), ( c = 4 ) seçebiliriz.

  • ( b \cdot c = 5 \cdot 4 = 20 ) (sağlanıyor).
  • Aynı şekilde, ( (a - c) \cdot (b - c) = 7 ) için:
    • ( (a - 4) \cdot (5 - 4) = 7 )
    • ( a - 4 = 7 ) → ( a = 11 ).

Sonuç Hesaplama

Artık her şeyi yerine koyabiliriz:

  • ( s(A) = a = 11 ),
  • ( s(B) = b = 5 ).

Buna göre:
[
s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 11 \cdot 5 = 55
]

Cevap

[
\boxed{E) 55}
]