Çözüm:
Soruda, A, B, C kümeleri şu şekilde verilmiş:
- A=\{(k, k+6): k \in \mathbb{Z}\} (Buradaki elemanlar k tamsayı olmak üzere k ve k+6 ikilileri).
- B=\{(k, k^2 - 4k): k \in \mathbb{N}\} (k doğal sayılar ve sırasıyla k ile k^2 - 4k'den oluşmuş bir küme).
- C=\{(k, 2k^2 - 5): k \in \mathbb{R}\} (k gerçek sayılar olmak üzere k ile 2k^2 - 5 çiftleri).
Anlamamız Gereken
Soruda:
- (a, b) \in A \cap B, yani a ve b aynı anda hem A'da hem B kümesinde olacak şekilde.
- (c, d) \in B \cap C, yani c ve d hem B'de hem de C kümesinde olacak şekilde.
Sonra \frac{b-d}{a-c} oranını bulmamız isteniyor. Şimdi bu kümeleri kesişim durumu üzerinde inceleyelim.
1. (a, b) \in A \cap B
Bu durumda hem A'daki hem de B'deki tanımlar sağlanmalı:
- A: b = a + 6
- B: b = a^2 - 4a
Bu iki ifade eşitlenir:
Düzenlersek:
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:
Buradan:
Ancak B kümesinde k \in \mathbb{N} olduğundan, a doğal sayı olmalı:
Şimdi a = 6 için:
Bu durumda (a, b) = (6, 12).
2. (c, d) \in B \cap C
Bu durumda hem B'de hem de C'deki tanımlar sağlanır:
- B: d = c^2 - 4c
- C: d = 2c^2 - 5
İki ifade eşitlenir:
Düzenlersek:
Bu denklemi çarpanlarına ayıramayız, bu yüzden diskriminant kontrol edelim:
Diskriminant negatif olduğu için bu kesişimde bir çözüm yoktur. Ancak görmeyipsolucu qüştü
Yanıtım kesildi ve yanlış bir yöne gidiyordu. Baştan doğru şekilde çözmeme izin verin:
1. (a, b) \in A \cap B
Bu durumda, hem A'nın hem de B'nin tanımlarını sağlayan (a, b) çiftleri olmalı. Elimizde:
- A: b = a + 6
- B: b = a^2 - 4a
Bu denklemleri eşitleriz:
Düzenlenirse:
Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çarpanlarına ayrılır:
Buradan:
Ancak B kümesinde k \in \mathbb{N} olduğundan, a doğal bir sayı olmalı:
Şimdi a = 6 için:
Bu durumda (a, b) = (6, 12).
2. (c, d) \in B \cap C
Bu durumda, hem B'nin hem de C'nin tanımlarını sağlayan (c, d) çiftleri olmalı. Elimizde:
- B: d = c^2 - 4c
- C: d = 2c^2 - 5
Bu iki eşitliği eşitleriz:
Düzenlenirse:
Bu denklem çözülürse:
Bu gerçek çözümleri equatsignment
Açıklama:
A, B ve C kümeleri sırasıyla şöyle tanımlanmıştır:
- A = { (k, k + 6) : k ∈ ℤ }
- B = { (k, k² − 4k) : k ∈ ℕ }
- C = { (k, 2k² − 5) : k ∈ ℝ }
Burada (a, b) ∈ A ∩ B ise hem A’da hem de B’de aynı birinci koordinata sahip olması gerekir. Yani:
- A kümesinde ikinci koordinat k + 6,
- B kümesinde ikinci koordinat k² − 4k,
olduğundan kesişimdeki nokta için
k + 6 = k² − 4k
eşitliğini sağlayan k değeri aranır. Bu denklemi çözelim:
Ancak B kümesinin tanımında k ∈ ℕ (yani doğal sayı) olduğundan k = 6 geçerlidir (k = –1 doğal sayı değildir). Böylece
- a = 6,
- b = a + 6 = 6 + 6 = 12.
Benzer şekilde (c, d) ∈ B ∩ C için hem B’de hem de C’de birinci koordinat aynı k olmalıdır:
- B’de ikinci koordinat k² − 4k, k ∈ ℕ,
- C’de ikinci koordinat 2k² − 5,
kesişimde k² − 4k = 2k² − 5
denklemini sağlayan k değerlerine bakılır:
B kümesi için k doğal sayı olmak zorunda olduğundan k = 1 geçerlidir. Bu durumda
- c = 1,
- d = c² − 4c = 1² − 4(1) = 1 − 4 = −3 (C kümesinde de 2(1)² − 5 = 2 − 5 = −3 tutar).
Artık istenen ifade
olduğuna göre:
- a = 6, b = 12
- c = 1, d = –3
Hesaplayalım:
Dolayısıyla,
Özet Tablo
| Adım | Denklem / İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| (a, b) ∈ A ∩ B | a + 6 = a² − 4a | a = 6, b = 12 |
| (c, d) ∈ B ∩ C | c² − 4c = 2c² − 5 | c = 1, d = -3 |
| (b - d) / (a - c) | (12 − (-3)) / (6 − 1) = 15 / 5 | 3 |
Cevap: 3