Soru:
Aralarında ( C \subset B \subset A ) bağıntısı olan boş kümeden farklı ( A ), ( B ) ve ( C ) kümeleri için
- ( s((A - C) \times (B - C)) = 7 )
- ( s(B \times C) = 20 )
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, ( s(A \times B) ) kaçtır?
Çözüm:
Sorunun çözümüne başlamadan önce temel bilgileri netleştirelim:
-
Kümelerin Kartesyen Çarpımı:
Eğer ( X ) kümesinin eleman sayısı ( s(X) = m ) ve ( Y ) kümesinin eleman sayısı ( s(Y) = n ) ise,
$$ s(X \times Y) = m \cdot n $$ -
Eleman Sayısı İle İlgili Bilgiler:
- ( A - C ): ( A ) kümesinden ( C ) kümesinin elemanları çıkarıldığında kalan elemanlar.
- ( B - C ): ( B ) kümesinden ( C ) kümesinin elemanları çıkarıldığında kalan elemanlar.
- ( B \times C ): ( B ) ve ( C ) kümelerinin kartesyen çarpımı.
Şimdi verilen ifadeler üzerinden çözüm yapalım.
1. Verilen Bilgilerin Kullanımı:
- ( s((A - C) \times (B - C)) = 7 )
Kartesyen çarpımın özelliğine göre:
$$ s((A - C) \times (B - C)) = s(A - C) \cdot s(B - C) $$
Buradan:
$$ s(A - C) \cdot s(B - C) = 7 \ \ \ \ \ \ \ (1) $$
- ( s(B \times C) = 20 )
Kartesyen çarpımın özelliğine göre:
$$ s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) $$
Buradan:
$$ s(B) \cdot s(C) = 20 \ \ \ \ \ \ \ (2) $$
2. Amaç: ( s(A \times B) )'yi Bulmak.
Kartesyen çarpımın tanımına göre:
$$ s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) $$
Bu yüzden ( s(A) ), ( s(B) ), ve ( s(C) )'nin eleman sayılarına ulaşmamız gerekiyor.
3. Eleman Sayılarını Belirlemek:
a) ( s(B) \cdot s(C) = 20 ) ilişkisinden:
Olası değer çiftlerini inceleyelim:
| ( s(B) ) | ( s(C) ) |
|---|---|
| 1 | 20 |
| 2 | 10 |
| 4 | 5 |
| 5 | 4 |
| 10 | 2 |
| 20 | 1 |
b) ( s(A - C) \cdot s(B - C) = 7 ) ilişkisinden:
Yalnızca bölenleri 7 olan değerler:
| ( s(A - C) ) | ( s(B - C) ) |
|---|---|
| 1 | 7 |
| 7 | 1 |
4. Çözümü Birleştirme:
Olası durumları ( C \subset B \subset A ) kısıtına uygun şekilde birleştirerek çözmeye çalışalım:
Olasılıkları Belirleyelim:
-
Eğer ( s(B) = 5 ) ve ( s(C) = 4 ) ise:
( s(B - C) = s(B) - s(C) = 5 - 4 = 1 ).
Bu durumda ( s(A - C) \cdot s(B - C) = 7 ), yani ( s(A - C) = 7 ) doğru olur.Sonuçları birleştirelim:
- ( s(B) = 5 ), ( s(A) = s(A - C) + s(C) = 7 + 4 = 11 ).
( s(A \times B) )'yi Hesaplayalım:
$$ s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 11 \cdot 5 = 55 $$
Sonuç:
Doğru cevap: E) 55