Verilen ifadenin a türünden yazılması:
Verilen:
- \log_2 6 = a
Bulunması gereken:
- \log_{27} 48 ifadesini a cinsinden yazmak.
Çözüm:
-
\log_{27} 48 ifadesini çözümlemek:
48 = 2^4 \cdot 3
27 = 3^3
Bu bilgileri kullanarak \log_{27}48 ifadesini yazalım:
$$\log_{27} 48 = \log_{27} (2^4 \cdot 3) = \log_{27} (2^4) + \log_{27} (3)$$
Logaritma tanımına göre:
$$\log_{27} (2^4) = 4 \cdot \log_{27} (2)$$
$$\log_{27} (3) = \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (3) = \frac{1}{3}$$ -
Taban değişimi formülünü kullanmak:
Taban değişimi formülü:
$$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$$Uygulayalım:
$$\log_{27} 2 = \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 27}$$
Bildiğimiz bir değer var:
- \log_{2} 6 = a \Rightarrow \log_{2} 2 + \log_{2} 3 = a
$$\log_{2} 2 = 1 \Rightarrow \log_{2} 3 = a - 1$$
Şimdi 27 = 3^3 için kullanabiliriz.
$$\log_{2} 27 = \log_{2} 3^3 = 3 \log_{2} 3 = 3(a-1)$$
Şimdi bu verileri kullanarak \log_{27} 2 ve \log_{27} 3:
$$\log_{27} 2 = \frac{1}{3(a-1)}$$
Şimdi ifadelere geri dönelim:
$$\log_{27} 48 = 4 \cdot \log_{27} (2) + \log_{27} (3)$$
$$\log_{27} 48 = 4 \cdot \frac{1}{3(a-1)} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3(a-1)} + \frac{1}{3}$$
Bu, a cinsinden bir ifadedir.
Özet: \log_{27} 48 ifadesi a cinsinden \frac{4}{3(a-1)} + \frac{1}{3} olarak ifade edilebilir.