İki vektörün toplamı ile farkı aynı büyüklüklteki vektörü veriyorsa, vektörler arasındaki açı kaç derecedir?
Cevap:
Bu soruda verilen problemde, iki vektörün toplamı ve farkı, aynı büyüklükteki üçüncü bir vektör ile sonuçlanmaktadır. Bu durumda, iki vektör arasındaki açı nedir, onu bulmamız isteniyor. Problemi çözmeye başlamadan önce, verilen bilgileri ve konseptleri anlamamız önemlidir.
- Vektörlerin Toplamı ve Farkı: İki vektörün toplamı, vektörlerin uç uca eklenmesiyle elde edilirken, vektörlerin farkı, bir vektörün tersinin diğerine eklenmesiyle elde edilir. İki vektörün toplamı eşittir \mathbf{A} + \mathbf{B} ve farkı eşittir \mathbf{A} - \mathbf{B}.
- Vektörler Arasındaki Açı: İki vektör arasındaki açı, onların yönleri arasındaki farkı ifade eder.
Çözüm Aşaması:
-
Matematiksel İfade: Verilen iki vektör \mathbf{A} ve \mathbf{B} için;
[ |\mathbf{A} + \mathbf{B}| = |\mathbf{A} - \mathbf{B}| = k ]
şeklinde ifade edilebilir.
-
İki Vektör Arasındaki Açı İlişkisi: Dot ürününü (nokta çarpımı) kullanarak \mathbf{A} ve \mathbf{B} vektörleri arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz.
[ |\mathbf{A} + \mathbf{B}|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + 2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} ]
[ |\mathbf{A} - \mathbf{B}|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} - 2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} ]Bu durumda, iki ifadeyi eşitlersek:
[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + 2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} - 2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} ]
Buradan,
[ 2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = -2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) ]
-
Sonuç:
Sonuçta, \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0 elde edilir. Bu, iki vektör arasındaki açının 90 derece olduğunu gösterir çünkü iki vektörün dot ürünü ancak vektörler dik olduklarında sıfıra eşit olur.
Nihai Cevap:
Doğru cevap C şıkkıdır, 90 derece. Yani, iki vektör arasındaki açı 90 derecedir ve bu, vektörlerin dik olduğunu gösterir.