Soru: 40 kişilik bir grubun %30’u kızdır. Gruba kaç kız daha katılırsa grubun %40’ı erkek olur?
Cevap: Bu sorunun doğru yanıtı 30 kızdır.
Aşağıda, bu cevaba nasıl ulaştığımızı adım adım ve anlaşılır bir şekilde inceleyelim:
1. Problemin Temel Yapısı
Bu soru, bir topluluk (grup) içerisindeki kız ve erkek oranlarının yüzde hesaplamalarına dayanmaktadır. “40 kişilik bir grubun %30’u kızdır” ifadesi, gruptaki kız sayısını net olarak bulmamızı sağlar. Ardından, gruba eklenecek belli bir sayıdaki kız sonrasında, erkeklerin topluluğun %40’ını oluşturması hedeflenmektedir. Oran orantı ve yüzde hesaplamalarını kullanarak bu denge koşulunu çözebiliriz.
Anahtar noktalar:
- Grubun başlangıçtaki toplam kişi sayısı: 40
- Grubun başlangıçtaki kız oranı: %30
- Grubun başlangıçtaki erkek oranı: %70
- Gruptaki kız sayısı zamanla artarken, erkek sayısı değişmez (aynı kişiler kalacaktır).
- Nihai durumda erkek oranı: %40
Bu problem “yüzdelerle ilgili sözel problemler” kategorisine girer ve genellikle “oran ve orantı” mantığını da içinde barındırır. Önemli olan, başlangıçtaki kız ve erkek sayılarını netleştirdikten sonra, eklenecek kız sayısını doğru şekilde hesaplamaktır.
2. Kız ve Erkek Sayılarının Belirlenmesi
- Toplam kişi sayısı: 40
- Kız oranı: %30
Kız sayısını bulmak için, toplam kişi sayısının %30’unu alalım:
[
\text{Kız sayısı} = 40 \times \frac{30}{100} = 40 \times 0.30 = 12
]
Dolayısıyla grupta 12 kız vardır.
- Erkek sayısı:
Gruptaki erkek sayısı, toplamdan kız sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır:
[
\text{Erkek sayısı} = 40 - 12 = 28
]
Sonuç olarak, başlangıçta grupta 12 kız ve 28 erkek bulunur.
3. Nihai Durum: Erkek Oranı %40 Olacak
Soru, “Gruba kaç kız daha katılırsa, grubun %40’ı erkek olur?” diye soruyor. Buna göre, aynı erkek sayısıyla (28 erkek) yeni toplam kişi sayısının %40’ı 28 olmalıdır.
- Eklenecek kız sayısı: Bu sayıyı (x) olarak tanımlayalım.
- Yeni toplam: Yeni toplam kişi sayısı = eski toplam (40) + (x).
- Hedef: Erkek sayısı (28), yeni toplamın %40’ına eşit olmalı.
Bu düşünceyi matematiksel bir denkleme dökelim:
[
28 = \frac{40}{100} \times (\text{yeni toplam})
]
Ancak dikkat edersek, istenilen oran %40’tır, o hâlde:
[
\text{Erkek sayısı} = 28
]
[
\text{Yeni toplam} = 40 + x
]
[
28 = 0.40 \times (40 + x)
]
Denklemi adım adım çözelim:
[
28 = 0.40 \times (40 + x)
]
[
28 = 16 + 0.40x
]
[
28 - 16 = 0.40x
]
[
12 = 0.40x
]
[
x = \frac{12}{0.40} = 30
]
Yukarıdaki hesaplamalar sonucunda, (x = 30) bulunur. Yani, gruba 30 kız daha katılırsa, erkekler artık yeni grubun %40’ını oluşturmaya başlar.
4. Kontrol ve Doğrulama
Yeni durumdaki kız ve erkek sayılarına birlikte bakalım:
- Başlangıç kız sayısı: 12
- Başlangıç erkek sayısı: 28
- Eklenen kız sayısı: 30
Yeni kız sayısı = 12 + 30 = 42
Yeni toplam kişi sayısı = 40 + 30 = 70
Erkek sayısında bir değişiklik yoktur (28). Şimdi, erkeklerin bu yeni gruptaki oranını kontrol edelim:
[
\frac{28}{70} = 0.40 = %40
]
Gerçekten de erkekler, 70 kişilik yeni grubun %40’ına denk gelmektedir. Bu doğrulama, cevabımızın 30 olduğunu kesinleştirir.
5. Benzer Yüzde Problemleri için İpuçları
- Mutlaka önce sayısal değerleri belirleyin: “%30 kız” gibi bir ifadenin arkasında gerçek sayı olarak kaç kişinin kız olduğu önemlidir.
- Erkek sayısı değişmiyor mu? Benzer problemler genelde, eklenen kişilerin sadece kız veya sadece erkek olduğunu söyler. Bu sayede diğer grup sabit kalır ve hesaplar kolay yapılır.
- Oranları yüzdelik değil, kesir olarak da kullanabilirsiniz: Oran-% dönüşümleri, pratiklik sağlar. Örneğin, %40 = 0.40, bu da hesaplamaları kolaylaştırır.
- Denklem kurarken dikkatli olun: Pay ve payda değişikliklerini bir tablo yardımıyla netleştirmek, hataları azaltır.
6. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tablo, sorunun başlangıç ve sonuç durumlarını özetlemektedir:
| Durum | Kız Sayısı | Erkek Sayısı | Toplam Kişi | Erkek Oranı |
|---|---|---|---|---|
| Başlangıç | 12 | 28 | 40 | 28/40 = %70 |
| Eklenecek Kız (x) | x = 30 | 0 | +30 | - |
| Nihai Durum | 12 + 30 = 42 | 28 | 70 | 28/70 = %40 |
Bu tablo, problemin öncesi ve sonrası arasındaki temel farkları net bir şekilde göstermektedir. Başlangıçta kadın (kız) sayısı 12 iken, eklenen 30 kız sonrasında toplam kız sayısı 42 olacaktır. Erkek sayısı değişmediği hâlde, toplam kişideki artış sayesinde erkeklerin oranı %70’ten %40’a düşer.
7. Detaylı Açıklama
Bu tarz sorular, gündelik hayatta veya çeşitli test ve sınavlarda sıkça karşımıza çıkan “yüzde ve karışımlar” problemidir. Önemli olan:
- Toplam kişide yüzde:
- Bir toplulukta belli bir özelliğe sahip olanların yüzdesi, orantılı hesaplar için kritik öneme sahiptir.
- Sabit kalan grup üyeleri:
- Soruda, erkek sayısı sabit kalır; değişen sadece kız sayısıdır. Bu, orantıyı kurarken işleri kolaylaştırır.
- Yeni toplamdaki oranın belirlenmesi:
- Yeni toplam kişi sayısı üzerinden yeni oranın istenmesi, “eski + eklenen = yeni” şeklinde basit bir toplama ile yapılır.
Analiz ve denkleme yaklaşımı, benzer türdeki “%x oranda A, %y oranda B” gibi problemleri çözerken aynen uygulanabilir. Her zaman önce “mevcut durumu” net rakamlarla belirleyip, sonra “ekleme veya çıkarma” kısmını denkleme oturtmak en garanti yöntemdir.
8. Sonuç
Yukarıdaki adımlarda görüldüğü gibi, gruba eklenecek kız sayısı 30 olarak bulunmuştur. Böylece erkeler, yeni oluşan grubun tam %40’ına denk gelecektir. Bu tarz yüzdelik ve oran problemlerini çözerken, pratik olarak:
- Mevcut sayıları netleştirmek,
- Eklenecek miktara değişken (örneğin (x)) demek,
- İstenen orana uygun denklem kurmak,
- Çözümü sayı olarak bulmak ve nihai sonucu doğrulamak
adımlarını izlemeyi unutmayınız.
Kısaca cevap: Gruba 30 kız daha katıldığında, erkeklerin oranı %40 olur.