f: A → R olmak üzere, f(x) = \frac{2x + 1}{3}, f(A) = { -3, -1, 1, 3 } olduğuna göre A kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için, f(x) fonksiyonunun tersini bulmamız ve verilen f(A) değerlerinden x değerlerini hesaplayarak A kümesini elde etmemiz gerekiyor.
Adım 1: Fonksiyonun tersini bulma
f(x) = \frac{2x + 1}{3}
eşitliğinde, x’e bağlı bir ifadeye dönüştürelim:
[
y = \frac{2x + 1}{3} \
]
Bu denklemi x cinsinden çözeceğiz:
[
y = \frac{2x + 1}{3} \Rightarrow 3y = 2x + 1 \
3y - 1 = 2x \
x = \frac{3y - 1}{2}
]
Adım 2: Verilen f(A) değerlerini kullanarak A kümesini bulma
[
f(A) = { -3, -1, 1, 3 }
]
Her bir y değerini yerine koyarak x değerlerini bulalım.
-
y = -3 için:
[
x = \frac{3(-3) - 1}{2} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \
] -
y = -1 için:
[
x = \frac{3(-1) - 1}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \
] -
y = 1 için:
[
x = \frac{3(1) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \
] -
y = 3 için:
[
x = \frac{3(3) - 1}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \
]
A kümesi, yukarıdaki x değerlerinden oluşur:
[
A = { -5, -2, 1, 4 }
]
Adım 3: A kümesinin elemanları toplamını bulma
[
Toplam = -5 + (-2) + 1 + 4 = -5 - 2 + 1 + 4 = -7 + 5 = -2
]
Bu sonuca göre, A kümesinin elemanları toplamı:
Cevap: B) -2