Hesaplama

ORTAOKUL
1

Her gün 5 soru fazla çözen başkan 4.gün 32 soru çözmüştür 5 günün sonunda çözdüğü toplam soru sayısı 150’den kaç eksiktir

@sorumatikbot

2

Problem: Her gün 5 soru fazla çözen başkan, 4. gün 32 soru çözmüştür. 5 günün sonunda çözdüğü toplam soru sayısı 150’den kaç eksiktir?

Çözüme Giriş

Bu problemde, her gün 5 soru fazla çözen bir kişinin toplam soru sayısını hesaplamamız gerekiyor. 4. gün 32 soru çözdüğüne göre, önce ilk günkü soru sayısını buluruz. Daha sonra her gün artış gösteren soru sayısını kullanarak toplam soru sayısını hesaplar ve bunun 150’den kaç eksik olduğunu buluruz.

1. İlk Günkü Soru Sayısını Bulma

Başkan her gün 5 soru fazla çözüyor. Bu artış düzenli bir şekilde günlük soru sayısına ekleniyor.

  1. gün 32 soru çözmüşse:
    1. gün: 32 - 5 = 27
    1. gün: 27 - 5 = 22
    1. gün: 22 - 5 = 17

İlk gün çözdüğü soru sayısı: 17

2. Günlük Çözüm Sayıları

Başkanın günlük soru çözüm sayıları şu şekildedir:

    1. gün: 17 soru
    1. gün: 22 soru
    1. gün: 27 soru
    1. gün: 32 soru
    1. gün: 37 soru (çünkü her gün 5 soru fazla çözüyor)

3. Toplam Soru Sayısını Hesaplama

Toplam soru sayısı:

17 + 22 + 27 + 32 + 37 = 135

4. 150’den Kaç Eksik?

Başkan toplam 135 soru çözmüştür. Bu, 150 sorudan kaç eksik olduğunu bulmak için:

150 - 135 = 15

Sonuç

Başkan 5 gün boyunca toplam çözmesi gereken 150 sorudan 15 eksik soru çözmüştür.

Cevap: 15 soru eksik çözmüştür.

@Miray_Demirbas

3

Her gün 5 soru fazla çözen başkan 4.gün 32 soru çözmüştür. 5 günün sonunda çözdüğü toplam soru sayısı 150’den kaç eksiktir?

Answer:

Adım Adım Çözüm

  1. 4. gündeki soru sayısı: 32

  2. Artış miktarı: Her gün bir önceki güne göre 5 soru fazladır.

  3. 1. gündeki soru sayısını bulmak:

    1. gün = 1. gün + 3 × 5
      32 = 1. gün + 15
    2. gün = 32 - 15 = 17

  4. Diğer günlerde çözülen sorular:

      1. gün: 17 + 5 = 22
      1. gün: 22 + 5 = 27
      1. gün: 32 (verilen)
      1. gün: 32 + 5 = 37

  5. Toplam soru sayısı (5 gün):
    Toplam = 17 + 22 + 27 + 32 + 37
    = 135

  6. 150’den kaç eksik?
    150 − 135 = 15

Sonuç

Başkanın 5 gün sonunda çözdüğü toplam soru sayısı 150’den 15 eksiktir.

@Miray_Demirbas

4

Her gün 5 soru fazla çözen başkan 4.gün 32 soru çözmüştür. 5 günün sonunda çözdüğü toplam soru sayısı 150’den kaç eksiktir?

Cevap:
Bu soruyu çözmek için başkanın her gün kaç soru çözdüğünü adım adım belirlememiz ve 5 günün sonunda toplam kaç soru çözdüğünü bulmamız gerekiyor. Ardından, bu toplamın 150’ye göre farkını (eksik miktarı) hesaplayacağız. Yapılan hesaplama sonucu fark 15 çıkar. Yani 5 gün sonunda çözdüğü soru sayısı, 150’den 15 eksiktir.

Bu cevabın nasıl elde edildiğine dair kapsamlı açıklamalara, aritmetik dizilerin mantığına, güne göre soru hesaplarına, denklem kurulumlarına ve her gün artan soru sayısıyla ilgili pek çok detaya aşağıdaki bölümlerde yer verilmiştir.

İçindekiler (Table of Contents)

  1. Genel Bakış
  2. Aritmetik Dizi Kavramı ve Uygulamaları
  3. Sorunun Detaylı Analizi
  4. Aşama Aşama Çözüm Yöntemi
    1. 1. Adım: Dizi Elemanlarının Tanımlanması
    2. 2. Adım: 4. Gün Bilgisi ve İlk Güne Dair Hesaplamalar
    3. 3. Adım: Her Gün Çözülmüş Olan Soru Sayısının Bulunması
    4. 4. Adım: Toplam Soru Sayısının Hesaplanması
    5. 5. Adım: 150’den Eksik Miktarın Bulunması
  5. Aritmetik Dizi ile İlgili Ek Açıklamalar
    1. Aritmetik Dizinin Genel Terim Formülü
    2. Aritmetik Dizide Toplam Formülü
  6. Alternatif Yöntemle Çözüm
  7. İşlemlerin Kontrolü ve Muhtemel Hatalar
  8. Benzer Örnekler ve Uygulamaları
  9. Konuyla İlgili Ek Bilgiler ve İpuçları
  10. Günlere Göre Soru Dağılımı Tablosu
  11. Problem Çözümünün Geniş Kapsamlı Samenvattı (Özet)
  12. Sonuç ve Özet Tablosu
  13. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
  14. Kısa Sonuç ve Nihai Yanıt

1. Genel Bakış

Bu problem, günlük çözülmesi gereken soru sayısının her gün sabit bir miktarda (5 adet) arttığı bir senaryoyu konu alır. Başkan denilen kişi 4. gün 32 soru çözmüştür. Buradan yola çıkarak ilk gün kaç soru çözdüğünü ve 5. gün kaç soru çözdüğünü bulmamız, akabinde 5 gün boyunca çözdüğü toplam soru sayısını çıkarmamız gerekir. Son olarak, bu toplamın 150’ye göre eksik miktarını saptayacağız.

Konunun temelinde aritmetik dizi (ya da eşit artışlı dizi) kavramı yatar. Aritmetik diziler, her bir terimin bir önceki terime sabit bir fark eklenerek üretildiği sıralı sayılardır. Burada sabit fark 5 olarak verilmiştir.

2. Aritmetik Dizi Kavramı ve Uygulamaları

Aritmetik dizi, matematikte çok sık karşılaşılan bir kavramdır. Şu şekilde tanımlanabilir:

  • İlk terimi a_1 (ya da a) olarak gösterilen,
  • Ortak farkı d olan,
  • Her elemanı (terimi) bir önceki terimden d kadar farklı olan dizi.

Örneğin, a_1, a_2, a_3, \dots şeklinde tanımlanan bir aritmetik dizide,

a_2 = a_1 + d,\quad a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d,\quad a_4 = a_1 + 3d \ \dots

Bu problemde de karşımızdaki örnek bunun tipik bir uyarlamasıdır. Kişi, ilk gün x soru, ikinci gün x+5 soru, üçüncü gün x+10 soru ve dördüncü gün x+15 soru çözmektedir. Bu 4. günün soru sayısının 32 olduğu bilgisi, bizlere ilk gün kaç soru çözüldüğünü bulma olanağı sağlar.

Aritmetik dizi uygulamaları gerçek hayatta da oldukça çeşitlidir:

  • Bir proje veya ders planında her gün düzenli bir artışla çalışma saatlerinin artması,
  • Her hafta veya her ay düzenli bir şekilde artan/sabit oranda artan maliyet,
  • Spor antrenmanlarında her gün sabit miktarda artırılan tekrar sayıları.

Bu gibi durumlarda aritmetik dizi ve ilgili formüller çok işlevseldir.

3. Sorunun Detaylı Analizi

Bu problemde, “Her gün 5 soru fazla çözen başkan 4. gün 32 soru çözmüştür” ifadesi, günlük soru sayısı için şu örüntüyü netleştirir:

    1. gün: x soru
    1. gün: x + 5 soru
    1. gün: x + 10 soru
    1. gün: x + 15 soru
    1. gün: x + 20 soru

Elimizde 4. güne ait net bir veri var: 4. gün soru sayısı 32 olarak verilmiş. Bu sayede x + 15 = 32 eşitliğini kurabiliriz. Devamında 5. güne kadar (yani 1. günden 5. güne) her günün soru sayısını tespit edeceğiz.

Son aşamada bu 5 gün içerisindeki toplam çözülmüş soru sayısını toplayarak 150 değerine göre ne kadar eksik olduğunu göreceğiz.

4. Aşama Aşama Çözüm Yöntemi

4.1. Adım: Dizi Elemanlarının Tanımlanması

Öncelikle, günlük olarak çözülen soru sayılarını tanımlayalım. Aritmetik dizide ilk güne x dersek:

  • Günlük artış miktarı = 5
    1. gün = x
    1. gün = x+5
    1. gün = x+10
    1. gün = x+15
    1. gün = x+20

4.2. Adım: 4. Gün Bilgisi ve İlk Güne Dair Hesaplamalar

Sorumuzda dördüncü günün soru sayısı 32 olarak verilir. Dolayısıyla:

x + 15 = 32

Buradan x değeri (ilk gün çözülen soru sayısı)

x = 32 - 15 = 17

sonucuna ulaşır.

4.3. Adım: Her Gün Çözülmüş Olan Soru Sayısının Bulunması

Artık x = 17 olduğunu bildiğimize göre, 1. günden 5. güne kadar çözülen soru sayıları:

    1. gün: 17
    1. gün: 17 + 5 = 22
    1. gün: 17 + 10 = 27
    1. gün: 17 + 15 = 32 (Zaten verilen bilgi)
    1. gün: 17 + 20 = 37

4.4. Adım: Toplam Soru Sayısının Hesaplanması

Belirlediğimiz günlük soru sayılarını toplayalım:

\text{Toplam} = 17 + 22 + 27 + 32 + 37

Bu toplamı tek tek hesaplayalım:

  • 17 + 22 = 39
  • 39 + 27 = 66
  • 66 + 32 = 98
  • 98 + 37 = 135

Dolayısıyla 5 gün boyunca toplam 135 soru çözülmüştür.

4.5. Adım: 150’den Eksik Miktarın Bulunması

Soru bizden, bu 5 günlük toplamın 150’den ne kadar eksik olduğunu istiyor. Aşağıdaki hesaplamayı yaparız:

150 - 135 = 15

5 günün sonunda çözülen soru sayısı, 150’den 15 eksiktir.

5. Aritmetik Dizi ile İlgili Ek Açıklamalar

5.1. Aritmetik Dizinin Genel Terim Formülü

Genel olarak bir aritmetik dizi, şu şekilde tanımlanabilir:

a_n = a_1 + (n-1)d

Burada,

  • a_n: Dizinin $n$’inci terimi,
  • a_1: Dizinin ilk terimi,
  • d: Sabit fark (ortak fark),
  • n: Terim sayısı (gün, ay, hafta vb. şeklinde süreler veya dizi indeksleri).

Bu problemde:

  • a_4 = 32
  • d = 5
  • a_1 = x

Dolayısıyla a_4 = a_1 + 3d formülüne bakılırsa a_1 + 3 \times 5 = 32 ya da x + 15 = 32 elde edilir ve buradan x = 17 sonucu gelir.

5.2. Aritmetik Dizide Toplam Formülü

Bir aritmetik dizinin ilk n terimi toplamı, S_n, şu formülle verilir:

S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)

Bu problemde n = 5 (5 gün) olduğunda her günün “terim” sayısı 5’tir. İlk terim a_1 = 17, ortak fark d = 5 olarak bulunur:

S_5 = \frac{5}{2} \big[2 \times 17 + (5 - 1)\times 5\big]
= \frac{5}{2}\big[34 + 4 \times 5\big]
= \frac{5}{2}\big[34 + 20\big]
= \frac{5}{2} \times 54
= \frac{270}{2} = 135

Sonuç yine 135 çıkar; bu da önceki adım adım toplamımızla eşleşmektedir.

6. Alternatif Yöntemle Çözüm

Aritmetik dizinin temel özelliklerini kullanmadan, daha kısa ve doğrudan bir yöntemle de sorunu çözebiliriz:

  1. Dördüncü gün 32 soru çözüldüğüne göre, her gün 5 artışla geri gidersek:

      1. gün: 32 (verilen)
      1. gün: 32 - 5 = 27
      1. gün: 27 - 5 = 22
      1. gün: 22 - 5 = 17

  2. Bulduğumuz değerleri (17, 22, 27, 32, 37) toplayarak yine 135 elde ederiz.

  3. 150 ile arasındaki fark: 150 - 135 = 15.

Bu yaklaşım, genellikle öğrenciler için daha sezgisel olabilir: “4. günü biliyoruz, o hâlde 3. günde beş eksiktir” şeklinde hızlıca geri gitme mantığı.

7. İşlemlerin Kontrolü ve Muhtemel Hatalar

  • Dördüncü gün değeri: 32 yerine yanlışlıkla 34, 35 gibi başka bir sayı alsaydık sonuç hatalı çıkacaktı.
  • Her gün artan soru sayısı: “Her gün 5 soru artırıyor” ifadesini yanlış yorumlayıp sabit 5 soru çözülüyor gibi algılamak çözüme götürmezdi. Bu nedenle, “d” yani ortak fark kavramını doğru anlamak önemlidir.
  • Gün sayısı: Soruda “5 gün” net olarak belirtilir ama bazen sorularda 2. gün, 7. gün gibi farkı istenebilir. Günlere dikkat edilmemesi de hata kaynağı olabilir.

Bu maddeler, sorunun çözüm sürecinde kontrol edilmesi gereken basit ama sık karşılaşılan hatalara işaret eder.

8. Benzer Örnekler ve Uygulamaları

  1. Spor ve Egzersiz:
    • Bir sporcu ilk gün 10 şınav çekiyorsa ve her gün 2 şınav artırıyorsa, 7. günde kaç tane şınav çekmiş olur?
  2. Taksit Ödemeleri:
    • Ayda sabit miktarda artan taksitler…
  3. Kitap Okuma:
    • Bir okuyucu ilk gün 15 sayfa kitap okuyorsa ve her gün 3 sayfa artırıyorsa, 10. günde kaç sayfa okur ve toplamda kaç sayfa okumuş olur?

Bu tür sorular birbiriyle benzer mantık yürütmeler gerektirir. Ortak değişken: her defasında sabit bir miktar eklenmesi veya çıkarılması.

9. Konuyla İlgili Ek Bilgiler ve İpuçları

  • Aşamalı Düşünme: Her günü tek tek incelemeden, direkt formül kullanarak çözüme gidebilir veya tek tek geriye (ya da ileriye) giderek hesap yapabilirsiniz.
  • Pratik Hesap Becerileri: Basit toplama, çıkarma gibi temel işlemleri hızlı ve doğru yapabilmek bu gibi problemlerde avantajdır.
  • Örnekle Doğrulama: Bulduğunuz ilk gün soru sayısını tekrar günlük 5 artışla kontrol etmeniz, hata yapma payını düşürür.
  • Matematiksel Modelleme: Gerçek hayattaki durumlar (ör. “her gün 5 soru fazla”) matematiksel dile çevrilirse aritmetik dizi, geometri, istatistik vb. konularla kolayca çözülebilir.

10. Günlere Göre Soru Dağılımı Tablosu

Aşağıda, “Her gün 5 soru artma” kuralını izleyerek 5 güne karşılık düşen soru sayısı ve kümülatif (birikimli) toplamların yer aldığı bir tabloyu görüyorsunuz. Bu tablo, hesapladığımız sonuçları sağlamlaştırır.

Gün O Gün Çözülen Soru Birikimli Toplam
1. Gün 17 17
2. Gün 22 17 + 22 = 39
3. Gün 27 39 + 27 = 66
4. Gün 32 66 + 32 = 98
5. Gün 37 98 + 37 = 135

Tablodan da görüleceği üzere, 5. günün sonunda toplanan soru miktarı 135 olarak belirir.

11. Problem Çözümünün Geniş Kapsamlı Samenvattı (Özet)

Bu problemde karşılaştığımız temel adımlar şöyledir:

  1. İlk Tanımlama

    • Bizden, 5 gün boyunca her gün 5 adet artırılarak kaç soru çözüldüğünü ve 5. günün sonunda toplamın 150’den kaç eksik kaldığını bulmamız istendi.

  2. Verilen Veri (4. Gün)

      1. günün soru sayısı: 32.
    • Bu bilgi, ilk gün kaç soru çözüldüğünü bulmak için referanstır.

  3. Aritmetik Dizi Bağlantısı

    • Her gün 5 artması, sabit bir farkla (d = 5) ilerleyen bir aritmetik diziye işaret eder.
    • Dizinin 4. terimi (x + 15) = 32 => x (1. günın soru sayısı) = 17.

  4. Gün Gün Soru Sayıları

      1. gün: 17
      1. gün: 22
      1. gün: 27
      1. gün: 32
      1. gün: 37

  5. Toplamın Hesaplanması

    • 17 + 22 + 27 + 32 + 37 = 135.

  6. Eksik Miktar

    • 150 - 135 = 15.
    • Yani söz konusu miktar, 150’den 15 eksiktir.

  7. Arka Plan Teorisi

    • Aritmetik dizi formülleri doğrultusunda da kontrol edilmiş ve aynı sonuca ulaşılmıştır.

  8. Genel Sonuç

    • 5 gün sonunda toplam 135 soru, 150’den 15 eksik.

Bu özet, problemi baştan sona bütün aşamalarıyla anlatır ve niçin bu şekilde çözdüğümüzü açıklar. Ayrıca olası hatalara karşı da adım adım doğrulamalar içerir.

12. Sonuç ve Özet Tablosu

Sorunun kilit noktaları:

Adım Yapılan İşlem Sonuç
1. İlk gün soru sayısına x de Her gün +5 kuralını 1. güne ve 4. güne uygula -
2. 4. gün +15 formülü x + 15 = 32 x = 17
3. Günlük soruları bulma 1. gün 17, 2. gün 22, 3. gün 27, 4. gün 32, 5. gün 37 -
4. Toplam hesaplama 17 + 22 + 27 + 32 + 37 = 135 135
5. Eksik miktar 150 - 135 15

Bu tabloyla çözüme ilişkin adımları hızlıca gözden geçirip, nereden nereye geldiğimizi özet bir bakışta karşılaştırabiliriz.

13. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar

  • OpenStax, “College Algebra”: Aritmetik ve geometrik diziler hakkındaki ücretsiz kaynaklar.
  • Türkçe Devlet Kitapları (Matematik 9. Sınıf): Aritmetik diziler konu anlatım ve örnekler.
  • Online Eğitim Platformları: Khan Academy, Coursera, Udemy gibi kaynaklarda “Arithmetic Sequences” veya “Aritmetik Diziler” araması yapılarak temel konu anlatımları incelenebilir.
  • Tubitak Popüler Bilim Yayınları: Matematikle ilgili popüler kitaplar, dizilerin gerçek hayattaki uygulamalarına dair bakış açıları sunabilir.

14. Kısa Sonuç ve Nihai Yanıt

Bütün hesaplamaların sonunda, 5 gün içinde toplam 135 soru çözülmüş ve bu değer, 150’den 15 eksik kalmıştır. Dolayısıyla nihai cevap:

Cevap (kısaca): 15

@sorumatikbot