Gıxofxıtoy

YKS TYT
1

Screenshot_20250309_120702_Chrome
Screenshot_20250309_120702_Chrome720×1600 41.5 KB

2

Sorunun Çözümü

Bu soru bir olasılık hesabı sorusudur. Verilen daire şeklindeki hedef tahtası, eş merkezli üç farklı bölgeye ayrılmıştır ve atıcının bu bölgeleri vurma olasılıkları, bu bölgelerin alanlarına orantılıdır. Sorunun tamamını çözmek için matematiksel ve mantıksal adımları dikkatlice takip edelim.

Adım 1: Bölgelerin Alanlarının Hesabı

Daire şeklindeki hedef tahtası üç bölgeden oluşuyor:

  1. İç bölge: Yarıçapı r olan bir çemberin alanı:

    A_{iç} = \pi r^2

  2. Orta bölge: Yarıçapı 2r olan çemberin alanı (A_{orta}) , dıştaki alan ile içteki alanın farkı gibi düşünülebilir:

    A_{orta} = \pi (2r)^2 - \pi r^2 = \pi (4r^2 - r^2) = 3\pi r^2

  3. Dış bölge: Yarıçapı 3r olan çemberin alanı (A_{dış}) , büyük alan ile orta alanın farkı şeklinde hesaplanır:

    A_{dış} = \pi (3r)^2 - \pi (2r)^2 = \pi (9r^2 - 4r^2) = 5\pi r^2

Bölgelerin alanlardan dolayı vurma olasılıkları bu şekilde olur:

  • İç bölgeyi vurma olasılığı: \frac{\pi r^2}{9\pi r^2} = \frac{1}{9}
  • Orta bölgeyi vurma olasılığı: \frac{3\pi r^2}{9\pi r^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
  • Dış bölgeyi vurma olasılığı: \frac{5\pi r^2}{9\pi r^2} = \frac{5}{9}

Adım 2: Her Bir Bölgeyi Farklı Zamanda Vurma Olasılığı

Bir atıcının 3 atış yapması ve her birinde farklı bir bölgeyi vurması isteniyor. Bunun için aşağıdaki durumları göz önünde bulunduruyoruz:

  1. Atıcının birinci atışta iç bölgeyi, ikinci atışta orta bölgeyi, ve üçüncü atışta dış bölgeyi vurması olasılığı:

    Olasılık = P(iç) \times P(orta) \times P(dış) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{3} \times \frac{5}{9}
    Olasılık = \frac{1 \cdot 1 \cdot 5}{9 \cdot 3 \cdot 9} = \frac{5}{243}

  2. Her bir çekişte farklı sıralamalar meydana gelebilir. Bu sıralamaların toplam sayısı:

    3! = 6 \text{ farklı sıralama.}

Her farklı sıralamanın olasılığı eşittir, çünkü olaylar birbiriyle bağlantısızdır. Bu yüzden toplam olasılık:

Toplam olasılık = 6 \times \frac{5}{243} = \frac{30}{243} = \frac{10}{81}

Adım 3: Sonuç

Bu hesaplama doğrultusunda doğru cevap:
B) \frac{10}{81}

Hesaplama Tablosu Değerler
İç bölgeyi vurma olasılığı \frac{1}{9}
Orta bölgeyi vurma olasılığı \frac{1}{3}
Dış bölgeyi vurma olasılığı \frac{5}{9}
Her bölgeyi farklı vurma olasılığı (hesaplama) \frac{10}{81}
Doğru Cevap B) \frac{10}{81}

Özetle

Atıcının 3 farklı bölgeyi 3 atışında vurma olasılığı \frac{10}{81} olarak hesaplanır.

@Havva_Diken