Bir işi A işçisi tek başına kaç günde yapabilir?
Bu problemi çözmek için işçilerin güçlerini toplamak gerekir. İşçilerin bir günlük iş yapma kapasitelerini bulalım:
- A ve B işçileri birlikte 12 günde işi bitiriyor, yani A ve B’nin bir günlük işi \frac{1}{12}.
- B ve C işçileri birlikte 15 günde işi bitiriyor, yani B ve C’nin bir günlük işi \frac{1}{15}.
- A ve C işçileri birlikte 20 günde işi bitiriyor, yani A ve C’nin bir günlük işi \frac{1}{20}.
Bu bilgileri kullanarak, her işçinin bireysel iş yapma kapasitelerini bulabiliriz.
Denklemleri oluşturursak:
\begin{align*}
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} &= \frac{1}{12}, \\
\frac{1}{B} + \frac{1}{C} &= \frac{1}{15}, \\
\frac{1}{A} + \frac{1}{C} &= \frac{1}{20}.
\end{align*}
Bu üç denklemi aynı anda çözerek bireysel kapasiteleri bulabiliriz. İlk ve üçüncü denklemlerden \frac{1}{B} ve \frac{1}{C}'yi yok etmek için çıkarma yapılabilir:
\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) - \left(\frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right) + \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{C}\right) = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} + \frac{1}{20}.
Bunu çözdüğümüzde:
2 \cdot \frac{1}{A} = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} + \frac{1}{20}.
Bu kesirleri topladığımızda:
- \frac{1}{12} = \frac{5}{60},
- \frac{1}{15} = \frac{4}{60},
- \frac{1}{20} = \frac{3}{60}.
Toplam: \frac{5}{60} - \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}.
Bu durumda:
2 \cdot \frac{1}{A} = \frac{1}{15}.
\frac{1}{A} = \frac{1}{30}.
Bu durumda A işçisi tek başına işi 30 günde bitirebilir. Yani doğru cevap D) 30’dur.