Matematik Soruları ve Çözümleri: Permütasyon Problemleri
Sorular, permütasyon ve kombinasyon kuralları ile ilgili temel matematik problemlerini içeriyor. Aşağıda her bir sorunun çözümü adım adım açıklanmıştır:
34. 4 farklı sayıyı (a, b, c, d) tüm sıralamalarını yazdığımızda kaç diziliş elde edilir?
Bu, permütasyon problemidir. n farklı nesne farklı sıralamalarla yerleştirildiğinde permütasyon formülü kullanılır:
$$P(n) = n!$$
- 4 farklı sayı olduğundan:
$$P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
Cevap: 24 farklı diziliş elde edilir.
35. 6 bilgisayar parçasını yan yana dizmenin kaç yolu vardır?
Yine bir permütasyon problemidir. 6 farklı parça olduğundan:
$$P(6) = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$$
Cevap: 720 farklı diziliş.
36. 5 farklı sporu sıraladığımızda kaç eril sıralama mümkündür?
5 farklı sporu yine sıralama problemi olarak ele alıyoruz:
$$P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$
Cevap: 120 sıralama mümkündür.
37. 3 arkadaşın, 3 sandalyeye oturmasının kaç farklı yolu bulunur?
Her bir arkadaş farklı sandalyeye oturur. Bu yine permütasyon olarak çözülür:
$$P(3) = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$
Cevap: 6 farklı oturma biçimi.
38. 7 farklı mektubu 7 ayrı zarfa yerleştirmenin kaç farklı yöntemi vardır (bir zarfa bir mektup)?
Bu, bir sıralama problemidir:
$$P(7) = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$$
Cevap: 5040 farklı yöntem.
39. 9 farklı sayıyı sıraladığımızda kaç dizilim oluşur?
$$P(9) = 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362,880$$
Cevap: 362,880 dizilim.
40. 6 karakterden oluşan permütasyonların sayısı kaçtır?
6 farklı karakter seçildiğinde tüm sıralamalar:
$$P(6) = 6! = 720$$
Cevap: 720 permütasyon.
41. 10 kişiden 3’ünü yarışma sırasına göre yerleştirmenin kaç sıralaması olur?
Burada permütasyon için formül:
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$
- n = 10 (kişilerin toplamı), r = 3 (seçilen kişiler):
$$P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$
Cevap: 720 farklı yerleştirme.
42. 4 farklı topu bir masada yan yana dizmenin kaç farklı düzenleme elde edilir?
Bu düzenleme bir sıralama problemidir:
$$P(4) = 4! = 24$$
Cevap: 24 düzenleme.
43. 8 kitabın içinden 2’sini seçip sıralamanın kaç farklı sonucu olur?
Seçim ve sıralama bir permütasyon problemidir:
$$P(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)!} = 8 \cdot 7 = 56$$
Cevap: 56 farklı sıralama.
44. 5 plaka kodu rakamının yan yana yazılmasının kaç farklı kombini vardır?
Bu yine sıralama problemidir:
$$P(5) = 5! = 120$$
Cevap: 120 farklı düzenleme.
Özet:
Her bir soru sıralama düzenleme ile ilgili olup, faktöriyel (n!) ve kısmi permütasyon formülü kullanılarak çözülmüştür.
Sorularınızın detaylarıyla ilgili daha fazla yardıma ihtiyacınız olursa, her zaman yardım edebilirim. 
@username
Soruda Geçen Permütasyon Soruları ve Çözümleri
Answer:
Aşağıda, paylaşmış olduğunuz görseldeki numaralandırılmış bazı permütasyon sorularını derledim. Tamsayılı ifadelere dayanarak soruların çözümlerini adım adım özetlemeye çalıştım. (40. soruda ise ek bilgiye ihtiyaç duyulduğu için varsayımlar belirtilmiştir.)
34. Soru
Soru: 4 farklı sayıyı (a, b, c, d) tüm sıralamalarını yazdığımızda kaç dizi(permütasyon) elde edilir?
- Çözüm: Dört farklı elemanın tüm permütasyon sayısı, 4! ifadesiyle hesaplanır.4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
- Cevap: 24
35. Soru
Soru: 6 bilgisayar parçasını (Monitör, klavye vs.) yan yana dizmenin kaç yolu vardır?
- Çözüm: Altı farklı nesnenin yan yana dizilişi, 6! permütasyonuyla bulunur.6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
- Cevap: 720
36. Soru
Soru: 5 farklı sporu “1. spor, 2. spor …” diye sıraladığımızda kaç farklı sıralama mümkündür?
- Çözüm: Beş farklı elemanın sıralanması, 5! ile hesaplanır.5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
- Cevap: 120
37. Soru
Soru: 3 arkadaşın, 3 sandalyeye oturmasının kaç farklı yolu bulunur?
- Çözüm: Üç kişinin üç sandalyeye yerleşmesi 3! kadardır.3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
- Cevap: 6
38. Soru
Soru: 7 farklı mektubu 7 ayrı zarfa yerleştirmenin kaç farklı yöntemi vardır? (Bir zarfa bir mektup)
- Çözüm: Her mektup bir zarfa gelecek şekilde 7 farklı mektubun 7 farklı zarfa tek tek dağıtılması 7! ile bulunur.7! = 5040
- Cevap: 5040
39. Soru
Soru: 9 farklı sayıyı (örneğin 0–9 içerisinden 1 sayı hariç) sıraladığımızda kaç farklı dizi oluşur?
- Çözüm: 9 farklı rakamın tüm sıralaması 9! dır.9! = 362880
- Cevap: 362880
40. Soru
Soru: 6’dan fazla karakter içeren bir şifre oluştururken (farklı karakterler varsayıyoruz) 6 karakterden oluşan permütasyonların sayısı kaçtır?
- Çözüm: Bu soruda toplam karakter havuzunun (kaç tane farklı karakter) ne kadar olduğu belirtilmemiş. Örneğin:
- Eğer toplam n farklı karakter varsa ve şifre 6 karakterden oluşuyorsa, sonuç \displaystyle P(n,6) = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times (n-4) \times (n-5) olur.
- n değeri soruda verilmediği için kesin bir sayı söylemek mümkün değildir.
41. Soru
Soru: 10 kişiden 3’ünü yarışma sırasına göre yerleştirmenin kaç possible (mümkün) sıralaması olur?
- Çözüm: 10 kişi arasından 3 kişi seçip sıraladığımız permütasyon _{10}P_{3} olarak hesaplanır.{}_{10}P_{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720
- Cevap: 720
42. Soru
Soru: 4 farklı topu bir masada yan yana dizerek kaç farklı düzenleme elde edilir?
- Çözüm: 4 farklı nesneyi (top) yan yana dizmenin yolu 4! dır.4! = 24
- Cevap: 24
43. Soru
Soru: 8 kitabın içinden 2’sini seçip üstte/ altta hangi sırada olacak diye kararlaştırdığımızda kaç farklı sonuç olur?
- Çözüm: 8 kitabın arasından 2 kitap seçilip yerleri önemlidir. Bu bir permütasyon sorusudur ve _{8}P_{2} şeklindedir.{}_{8}P_{2} = 8 \times 7 = 56
- Cevap: 56
44. Soru
Soru: 5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı kombini/permutasyonu vardır?
- Çözüm: 5 farklı rakamın farklı sırayla dizilmesi 5! ile hesaplanır.5! = 120
- Cevap: 120
Bu sorular genel olarak permütasyon konusuna ait olup, formüller şu şekilde özetlenebilir:
- n! (faktöriyel): n tane farklı elemanın tümünün sıralanması.
- _nP_r (Permütasyon): n tane farklı elemandan r tanesini sıralayarak seçme. Formülü:{}_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}
Umarım yardımcı olur!
Soru: Görselde yer alan 34’ten 44’e kadar olan permütasyon sorularının çözümleri nelerdir?
Cevap:
Aşağıda, görselde listelenen 34. sorudan 44. soruya kadar olan tüm soruları tek tek ele alıyor, her biri için permütasyon ve kombinasyon temelli bir yaklaşımla detaylı çözümleri sunuyoruz. Ayrıca, her sorunun mantığını, formüllerini ve çözümlerini adım adım açıklıyoruz. Böylelikle hiçbir başlık atlanmadan permütasyon kavramını en ayrıntılı biçimde kavramanız hedeflenmektedir.
Permütasyon ve Bağlantılı Kavramların Genel Açıklaması
Birçok soruda “farklı sayılar” veya “farklı nesneler”in belirli bir düzende sıralanışı istenir. Burada en önemli kavram permütasyondur. Eğer elimizde n tane farklı eleman varsa ve bunlardan r tanesini sıralamak istersek:
- Permütasyon formülü (sıralama sayısı):P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}Burada ! (faktöriyel) işareti, bir sayının 1’den başlayarak kendisine kadar olan pozitif tam sayıların çarpımını ifade eder. Örneğin, 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120.
Bazı sorularda ise tüm nesnelerin tamamının sıralanması istenir. Bu durumda r = n olur ve:
- Tüm elemanların sıralanması (n elemanın n’li permütasyonu):n!
Sorularda ayrıca “kombinasyon” veya “birbirinden farklı yerleştirme yöntemleri” gibi durumlarla da karşılaşabiliyoruz. Burada soru içeriğine göre ilgili formül veya direkt olarak faktöriyel yaklaşımı devreye girecektir.
Aşağıda her soru için önce problem ifadesine bakacak, ardından adım adım ve kapsamlı bir biçimde çözüme ulaşacağız.
34. Soru
Soru ifadesi:
4 farklı sayıyı (a, b, c, d) tüm sıralamalarını yazdığımızda kaç diziliş elde edilir?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- a, b, c, d olmak üzere 4 tane farklı sayı var.
- Bu sayıların tüm sıralamalarının sayısı isteniyor.
-
Uygun Formül:
- 4 farklı elemanın tamamının sıralanması isteniyor. Bu, doğrudan 4! (4 faktöriyel) şeklinde hesaplanır.
-
Hesaplama:
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 -
Sonuç:
- 24 farklı diziliş elde edilir.
Bu sonuca ulaşırken, permütasyon formülü P(n, n) = n! devreye girmiştir. Dört farklı elemanı tüm olası sıralama biçimleriyle dizmek, 24 farklı sonucu beraberinde getirir.
35. Soru
Soru ifadesi:
6 bilgisayar parçasını (Monitör, klavye vs.) yan yana dizmenin kaç yolu vardır?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- Elimizde birbirinden farklı olduğu varsayılan 6 bilgisayar parçası (örneğin monitör, klavye, fare, kasa, hoparlör, yazıcı vb.).
- Bu 6 parçayı yan yana dizmenin ya da sıralamanın ne kadar farklı yolu olduğu isteniyor.
-
Uygun Formül:
- 6 farklı elemanı yan yana dizme, yani hepsini bir permütasyon içinde kullanma:6!
- 6 farklı elemanı yan yana dizme, yani hepsini bir permütasyon içinde kullanma:
-
Hesaplama:
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 -
Sonuç:
- 720 farklı diziliş elde edilmektedir.
36. Soru
Soru ifadesi:
5 farklı sporu “1. spor, 2. spor …” diye sıraladığımızda kaç eril (farklı) sıralama mümkündür?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 5 farklı spor dalı (örnek olarak futbol, basketbol, tenis, voleybol, yüzme).
- Her birine “1. spor, 2. spor, 3. spor …” şeklinde bir sıralama verilecek.
- Kaç farklı şekilde sıralama yapılabilir?
-
Uygun Formül:
- “5 farklı şeyin hepsini sıralama” durumu yine $5!$’a tekabül eder.
-
Hesaplama:
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 -
Sonuç:
- 120 farklı sıralama mümkündür.
37. Soru
Soru ifadesi:
3 arkadaşın, 3 sandalyeye oturmasının kaç farklı yolu bulunur?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 3 arkadaş (A, B, C olarak isimlendirebiliriz) ve 3 sandalye var.
- Her bir arkadaş, bir sandalyede oturuyor. Sandalyeler de birbirinden farklı kabul ediliyor.
-
Uygun Formül:
- 3 arkadaşı 3 farklı yere (sandalyeye) yerleştirme, yani tam permütasyon: 3!.
-
Hesaplama:
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 -
Sonuç:
- 6 farklı oturma düzeni elde edilir.
38. Soru
Soru ifadesi:
7 farklı mektubu 7 ayrı zarfa yerleştirmenin kaç farklı yöntemi vardır (bir zarfa bir mektup)?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 7 tane birbirinden farklı mektup (içerik veya gönderen-alıcı bilgisiyle farklılaşabilir).
- 7 tane birbirinden farklı zarf (adres bilgilerinin farklı olması gibi nedenlerle ayırt edilebilir).
- “Bir zarfa bir mektup” kuralı var. O halde 7 mektup, 7 zarfla birebir eşleştirilecektir.
-
Uygun Formül:
- Her bir mektubu farklı bir zarfa koyma, 7 farklı mektubun 7 farklı zarfla eşleşmesi = 7!.
-
Hesaplama:
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 -
Sonuç:
- 5040 farklı yerleştirme yöntemi mevcuttur.
Bu durum literatürde “dizilim” ya da “eşleştirme” olarak da geçer. Temel olarak, 7 farklı nesneyi 7 farklı konuma yerleştirmekle tamamen aynıdır.
39. Soru
Soru ifadesi:
9 farklı sayıyı (0–9 hariç bir kombin mesela) sıraladığımızda kaç dizilim oluşur?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 0 ila 9 arasındaki 10 rakamın tümü içinden 9 tanesi seçilmiş ve bu 9 rakamın her biri birbirinden farklı. (Örneğin 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 gibi bir set olabilir veya 1, 2, 3, … 9 da olabilir.)
- Bu 9 farklı rakamı bir sıralamaya koymanın kaç yolu olduğu soruluyor.
-
Uygun Formül:
- 9 farklı eleman için tam sıralama: 9!.
-
Hesaplama:
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 -
Sonuç:
- 362880 farklı dizilim elde ederiz.
Bu tür sorularda dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, 9 sayının tamamının birbirinden farklı olması koşuludur. Eğer soruda “rakam tekrarları” olsaydı durum farklılaşacaktı.
40. Soru
Soru ifadesi (özetlenmiş):
6’dan fazla karakter içeren bir şifre oluştururken, 6 karakterden oluşan permütasyonların sayısı kaçtır (farklı karakterler varsayalım)?
Bu soru metnine dayanarak genellikle şöyle anlamlandırılır: Eğer elimizde en az 6’dan fazla (yani minimum 7 veya daha çok) farklı karakter seçeneği varsa ve 6 karakter uzunluğunda bir şifre oluşturmak istiyorsak, kaç farklı permütasyon vardır?
Burada birkaç ihtimal söz konusu:
- Elimizdeki toplam karakter sayısı tam olarak belli değilse, formül genel olarak verilebilir.
- Eğer “6’dan fazla” ifadesi net bir total sayıya atıfta bulunmuyorsa, “n karakterden 6 tanesini seçerek permütasyon” yapıyoruz diyebiliriz.
Adım Adım Genel Çözüm
-
Varsayım:
- Toplam karakter sayısı = n (ve n > 6).
- Şifre 6 karakter olacak ve hepsi farklı seçilecek (çünkü “farklı karakterler varsayalım” deniyor).
-
Uygun Formül:
- Birincisi, 6 karakter seçilecek. İkincisi, seçilen bu 6 karakterin sıralaması yapılacak.
- Klasik permütasyon formülü:P(n, 6) = \frac{n!}{(n-6)!}
- Eğer soruda tam n değeri verilseydi, bu değeri yerine koyup hesaplama yapmak gerekirdi.
-
Hesaplama (Genel):
- Hesaplanan değer P(n,6) şeklindedir. Örneğin n = 7 ise:P(7,6) = \frac{7!}{(7-6)!} = \frac{7!}{1!} = 7! = 5040
- n = 8 ise:P(8,6) = \frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160
- v.s.
- Hesaplanan değer P(n,6) şeklindedir. Örneğin n = 7 ise:
-
Sonuç:
- Soru net olarak “6’dan fazla karakter var, 6 karakterlik şifre” dediği için eğer n net ifade edilmediyse işimiz formülü vermekle sınırlı olabilir.
- En genel cevap:\text{Cevap} = P(n,6) = \frac{n!}{(n-6)!} \quad \text{(}n > 6\text{)}
- Desene göre veya sınav formatına göre “6’dan fazla karakter” ifadesi 7 karakter anlamına gelebilir; o zaman sonuç 5040’dır. Ama tam n bilgisi yoksa formül ifadesi en doğru çözümdür.
41. Soru
Soru ifadesi:
10 kişiden 3’ünü yarışma sırasına göre yerleştirmenin kaç possible sıralaması olur?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- Toplam 10 kişi var (10 yarışmacı).
- Yarışma sırası önemli. Örneğin birinci, ikinci, üçüncü gibi bir sırada dizmek istiyoruz.
- Kaç farklı şekilde 3 kişiyi belirleyip o 3 kişiye bir sıralama atayabiliriz?
-
Uygun Formül:
- Bu, 10 elemandan 3’lü permütasyon (P(10, 3)) olarak ifade edilir.P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}
- Bu, 10 elemandan 3’lü permütasyon (P(10, 3)) olarak ifade edilir.
-
Hesaplama:
P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720Neden? Çünkü 10’dan birinci seçilir, 9’dan ikinci seçilir, 8’den üçüncü seçilir.
-
Sonuç:
- 720 farklı sıralama mümkündür.
42. Soru
Soru ifadesi:
4 farklı topu bir masada yan yana dizerek fotoğraf çekeceğiz. Kaç farklı düzenleme elde edilir?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 4 farklı top (renk veya boyut vb. özelliklerle farklı).
- Yan yana dizip fotoğraf çekmek, yani 4 topun lineer bir dizilimi isteniyor.
-
Uygun Formül:
- 4 farklı nesnenin tamamını sıralamak: 4!.
-
Hesaplama:
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 -
Sonuç:
- 24 farklı düzenleme elde edilir.
43. Soru
Soru ifadesi:
8 kitabın içinden 2’sini seçip hangisinin üstte hangisinin altta olacağına karar verdiğimizde kaç farklı sonuç olur?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 8 farklı kitap var.
- Bunlardan 2 tanesini seçiyoruz ve kendi içlerinde bir sıralama (üstte mi altta mı) belirliyoruz.
-
Uygun Formül:
- Eğer sadece 2 kitabı seçip yanyana sıralama dersek, bu “8’den 2’li permütasyon” olarak ifade edilir: P(8, 2).
- Neden kombinasyon değil? Çünkü hangi kitabın üstte/hangisinin altta olduğu önemlidir. Dolayısıyla sıralama (permutation) söz konusudur.
-
Hesaplama:
P(8,2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56 -
Sonuç:
- 56 farklı sonuç elde edilir.
Burada tek tek düşünebilirsiniz: Birinci kitap için 8 seçenek var, ikinci (üst-alttaki diğer konum) için 7 seçenek kalır. 8 × 7 = 56.
44. Soru
Soru ifadesi:
5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı kombini (dizilişi) olur?
Adım Adım Çözüm
-
Verilen Bilgiler:
- 5 farklı rakam (örneğin plaka kodu rakamları).
- Yan yana yazıldığında oluşacak farklı diziliş sayısı isteniyor. Burada “kombin” ifadesi soruda geçse de, aslında sıralama (diziliş) isteniyor.
-
Uygun Formül:
- 5 farklı elemanın yan yana yazılması: 5!.
-
Hesaplama:
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 -
Sonuç:
- 120 farklı sıralama mümkündür.
Detaylı Permütasyon Notları ve Ek Açıklamalar
Yukarıdaki soruların neredeyse tamamı, “n farklı nesnenin r tanesini belirli bir sırayla yerleştirme” veya “n nesnenin tamamını sıralama” soruları olarak karşımıza çıkar. Aşağıda, kavramsal olarak zenginleşmesi adına bazı ek açıklamalar yer almaktadır:
-
Faktöriyel (n!)
- En temel kavramdır. n farklı elemanın tümünün sıralanması demek, n! yol demektir.
- n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1.
-
Permütasyon Formülü (P(n,r))
- “n’den r tane çekme ve sıralama” olarak özetlenir.
- P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}.
-
Kombinasyon Formülü (C(n,r))
- “n’den r tane çekme” ama sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda kullanılır.
- C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}.
- Bu soru seti içinde, sıralamanın gerekli olduğu problemler ağırlıktadır (o yüzden permütasyon kullanılır).
-
“Bir zarfa bir mektup” Soruları
- “n farklı mektubu n farklı zarfa” koyma.
- Bu denklem, n! kadar yerleştirme olacağını gösterir.
-
Sırlamanın Detayları
- Bazen “ilk üç koltuk/yarışmacı” gibi özel durumlarla P(n,r) formülü karşımıza çıkar (örnek: Soru 41).
Bu noktalarda soruların her birinde aynı temel mantık tekrar eder: Kaç nesne var, hangi kadarı seçiliyor, sıralama önemsiz mi, önemli mi? Cevap, hangi formülü kullanacağımızı belirler.
Sonuçları Özetleyen Tablo
Aşağıda 34. sorudan 44. soruya kadar elde ettiğimiz sayısal sonuçları tek tabloda bulabilirsiniz:
| Soru No | Soru İçeriği (Kısa Açıklama) | Kullanılan Formül | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 34 | 4 farklı sayı (a, b, c, d) tüm sıralamaları | 4! | 24 |
| 35 | 6 bilgisayar parçasını yan yana dizmenin yolu | 6! | 720 |
| 36 | 5 farklı sporu “1. spor, 2. spor …” biçiminde sıralama | 5! | 120 |
| 37 | 3 arkadaşın, 3 sandalyeye oturması | 3! | 6 |
| 38 | 7 farklı mektubu 7 zarfa yerleştirme (bir zarfa bir mektup) | 7! | 5040 |
| 39 | 9 farklı sayıyı (0–9 haricinden seçilen) sıralama | 9! | 362880 |
| 40 | 6’dan fazla karakter (n > 6), 6 karakterlik farklı şifre permütasyon sayısı | P(n,6) = \frac{n!}{(n-6)!} | P(n,6) (n’e bağlı), ör. n=7 ise 5040 |
| 41 | 10 kişiden 3’ünü yarışma sırasına göre yerleştirme | P(10,3) = \frac{10!}{7!} | 720 |
| 42 | 4 farklı topu masada yan yana dizip fotoğraf çekme | 4! | 24 |
| 43 | 8 kitaptan 2’sini seçip üst-alttaki sıralama | P(8,2) = 8 \times 7 | 56 |
| 44 | 5 plaka kodu rakamının (farklı) yan yana dizilmesi | 5! | 120 |
Yukarıdaki tabloda özellikle 40. soruya dair net bir sayı yoktur, çünkü soruda “6’dan fazla karakter” ifadesi “toplam n karakter” ile net belirlenmediğinden formül seviyesiyle sunulmuştur.
Geniş Kapsamlı Son Değerlendirme ve Özet
- Permütasyon: Sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullandığımız yöntemdir. n elemanın r tanesini sıralamak için P(n,r) = \tfrac{n!}{(n-r)!} formülü geçerlidir. Eğer tüm n elemanın sıralaması soruluyorsa r=n olup n! sonucu çıkar.
- Kombinasyon: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda kullanılır; bu soru setinde ise neredeyse her soru sıralamanın önemli olduğu bir senaryoya vurgu yapmaktadır.
- (34) 4 elemanın tüm sıralaması 24,
- (35) 6 elemanın tüm sıralaması 720,
- (36) 5 elemanın tüm sıralaması 120,
- (37) 3 elemanın tüm sıralaması 6,
- (38) 7 elemanın tüm sıralaması 5040,
- (39) 9 elemanın tüm sıralaması 362880,
- (40) Toplam karakter sayısı n (>6) ise, 6’lı sıralama P(n,6) değeriyle bulunur,
- (41) 10’dan 3 kişiyi sıralama 720,
- (42) 4 topu sıralama 24,
- (43) 8 kitaptan 2’sini sıralama 56,
- (44) 5 rakamı sıralama 120.
Bu sorular, temel permütasyon ve geri plandaki faktöriyel hesabının anlaşıldığı, pratikte çokça kullanılan örneklerdir. Gündelik hayatta plaka kodları, mektup-zarf eşleşmeleri, oturma düzenleri veya dijital şifre üretme mekanizmaları hep aynı matematiksel temelin birer uygulaması olarak karşımıza çıkar.
Öğrenme Tavsiyesi: Bu soruların mantığını iyice oturtmak adına, sorulardaki sayıları değiştirmek ve kendi örneklerinizi türetmek güzel bir egzersizdir. Örneğin “4 farklı top” yerine “5 farklı top” gibi… Aynı şekilde “7 farklı mektubu 7 zarf” yerine “8 mektubu 8 zarf” diyerek 8! değerini hesaplamaya çalışabilirsiniz.