Soruların Çözümü ve Cevapları
Soru 67:
5 farklı ressamın, 5 farklı tabloyu resmetmesi, tablolara numara verilmesi düşünülerek kaç farklı permütasyon mümkündür?
Bu bir permütasyon sorusudur. n farklı nesnenin sıralanış sayısı:
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1
Burada n = 5 olacak:
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
Cevap: 120
Soru 68:
10 kişilik listeden 4 kişiyi seçip, bu kişilere A, B, C, D etiketleri vermek. Kaç farklı etiketleme sırası olur?
Bu soruda hem seçim hem sıralama vardır.
- Seçim: 10 kişiden 4 kişi seçme kombinasyonu:
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210
- Sıralama: Seçilen 4 kişinin sıralanışı permütasyon sayısıdır:
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
Toplam yollar:
210 \cdot 24 = 5040
Cevap: 5040
Soru 69:
6 kişilik bir koroda, 6 basamaklı bir sırayı oluşturmanın kaç farklı yolu vardır?
Bu soruda direkt sıralama vardır. 6 kişi sıralanabilir:
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720
Cevap: 720
Soru 70:
5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç değişik atama şekli vardır?
Bu da bir sıralama sorusu. Her kıyafet bir manken için özgün:
5! = 120
Cevap: 120
Soru 71:
8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizmek. Kaç farklı sıralama olur?
Tüm parçalar sıralanacak:
8! = 40320
Cevap: 40320
Soru 72:
5 farklı matematik sorusunu, ilk soruyu sabitledikten sonra diğer 4’ünü sıralamanın kaç farklı yolu vardır?
1 soruyu sabitlersek geriye 4 soru kalır. 4 sorunun sıralanışı:
4! = 24
Cevap: 24
Soru 73:
4 turistten 3’ü şehir gezecek ve sıralama önemlidir. Kaç farklı rota mümkündür?
- Turist seçimi:
C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4
- Sıralama:
3! = 6
Toplam yollar:
4 \cdot 6 = 24
Cevap: 24
Soru 74:
7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, sözlü sırasını oluşturmanın kaç farklı yolu vardır?
7 öğrenci sıralanır:
7! = 5040
Cevap: 5040
Soru 75:
10 farklı hediyeden 3’ünü seçip ve sıralamanın kaç yolu vardır?
Bu bir permütasyon sorusudur:
P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720
Cevap: 720
Soruların çözümlerini tamamladım. Başka bir sorunuz varsa memnuniyetle yardımcı olurum! 
@username
67’den 75’e Kadar Olan Permütasyon Soruları ve Çözümleri
Answer:
Aşağıda, paylaştığınız görseldeki 67’den 75’e kadar numaralandırılmış permütasyon sorularının çözümlerini bulabilirsiniz. Her sorunun temel mantığını ve formüllerini de açıklayarak ilerliyoruz.
Soru 67
5 farklı ressamın 5 farklı tabloyu resmetmesi ve bu tablolara numara verilmesi düşünüldüğünde, ressam ile tablo eşleşmesi kaç farklı permütasyonla yapılabilir?
• Çözüm Mantığı:
- 5 ressamı 5 tabloyla eşleştirmek istiyoruz. Bu, 5 farklı elemanın (tablo) 5 farklı elemanla (ressam) eşleştirilmesidir.
- Temel permütasyon formülü: n!
- Burada n = 5 olduğundan:5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
- Cevap: 120
Soru 68
10 kişilik bir listeden 4 kişiyi seçecek ve bu 4 kişiye A, B, C, D etiketleri verilecektir. Kaç farklı etiketleme sırası oluşur?
• Çözüm Mantığı:
- Önce 4 kişiyi 10 kişiden seçeceğiz: \binom{10}{4}
- Seçilen 4 kişiyi A, B, C, D şeklinde etiketlemek (sıralamak) için 4! farklı yol vardır.
- Toplam permütasyon:\binom{10}{4} \times 4! = 210 \times 24 = 5040
- Cevap: 5040
Soru 69
6 kişilik bir koroda, “solo sırası” dediğimiz 6 basamaklı bir diziliş yaparken kaç farklı yol vardır?
• Çözüm Mantığı:
- 6 kişi, 6 sıralama basamağı.
- 6 farklı elemanı sıralamak: 6!
-
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
- Cevap: 720
Soru 70
5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç değişik atama şekli (permütasyonu) vardır?
• Çözüm Mantığı:
- 5 kıyafet ve 5 manken, bire bir eşleşecek.
- 5 farklı elemanın 5 farklı elemanla eşleştirilmesi 5!
-
5! = 120
- Cevap: 120
Soru 71
8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizerken elde edilebilecek farklı sıralama sayısı kaçtır?
• Çözüm Mantığı:
- 8 farklı parçayı alt alta (veya bir sütunda) dizmek, 8 elemanı sıraya koymak demektir.
- 8! formülü uygulanır:8! = 40320
- Cevap: 40320
Soru 72
5 farklı matematik sorusunu, ilk soruyu sabitledikten sonra geri kalan 4 soruyu kaç farklı şekilde sıralayabilirsiniz?
• Çözüm Mantığı:
- İlk soru sabit olduğu için yalnızca kalan 4 sorunun permütasyonuna bakılır.
- 4 sorunun sıralanması = 4! = 24
- Cevap: 24
Soru 73
4 turistik şehirden 3’ünü gezecek ve gezme sırasının önemli olduğu bir planda kaç farklı rota mümkündür?
• Çözüm Mantığı:
- 4 şehirden 3 tanesini seçeceğiz ve seçilen şehirleri sırayla gezeceğiz.
- Dizi önemine göre permütasyon: P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24
- Cevap: 24
Soru 74
7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, kaç farklı sözlü sırası oluşturulabilir?
• Çözüm Mantığı:
- 7 öğrenciyi sırayla almak 7 elemanın dizilimi demektir:
- 7! = 5040
- Cevap: 5040
Soru 75
10 farklı hediyeden 3’ünü seçip birinci vereceğim, ikinci vereceğim ve üçüncü vereceğim şeklinde sıralamanın kaç yolu vardır?
• Çözüm Mantığı:
- 10 farklı hediyeden 3’ünü sırasıyla seçmek P(10,3) olarak hesaplanır:P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720
- Cevap: 720
Kaynaklar / Referanslar:
• Temel Permütasyon Formülü: n!
• Temel Kombinasyon Formülü: \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
• Açık Kaynak: OpenStax (College Algebra), Khan Academy (Permutations & Combinations)
@User
Irem_Erkus1 tarafından paylaşılan soru görselindeki sorular ve çözümleri nelerdir?
Cevap:
Aşağıdaki metinde, görselde yer alan ve çoğu temel permütasyon ve kombinasyon konularıyla ilgili olduğu anlaşılan soruların her birini ayrıntılı şekilde ele alacağız. Soruları numaralandırarak adım adım çözecek, konuyla ilgili temel kavramları açıklayacak ve ardından tablo halinde özetleyeceğiz. Metin uzun ve detaylı olacaktır; böylece hem kavramlar hem de çözümler tüm incelikleriyle anlaşılabilir.
Permütasyon ve Kombinasyon Konularına Giriş
Matematikte kombinasyon, belirli bir kümeye ait nesnelerin sırasız seçimini ifade ederken, permütasyon ise bir kümeye ait nesnelerin sıralı yerleşimini (dizilişini) ifade eder. Bu iki kavram, özellikle problem çözümlerinde sıkça kullanılır. Sorularda şu formüller başlıca kullanılır:
-
Kombinasyon (C(n, r) veya {}_n C_r)
Bir kümeden belirlenecek r elemanın sırasız seçimini belirtir. Formülü:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}Burada:
- ( n! ) ifadesi “n faktöriyel” anlamına gelir ve ( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 ) şeklinde tanımlanır.
- ( r!(n-r)! ) çarpımı da benzer şekilde faktöriyel olarak hesaplanır.
-
Permütasyon (P(n, r) veya {}_n P_r)
Bir kümeden belirlenecek r elemanın sıra önemli olacak şekilde seçimini belirtir. Formülü:
P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}Bazı durumlarda ise r, n’ye eşit olduğunda basitçe (n! ) (n faktöriyel) kullanılır.
-
Faktöriyel (n!)
( n! ), 1’den n’ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımını ifade eder:n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
Kurallar özetle şu şekilde öne çıkar:
- Seçim sırasız ise: Kombinasyon (C(n, r)).
- Seçim sıralı ise: Permütasyon (P(n, r)).
- Tamamını sıralarsak: ( n! ) (yani n elemanın tam permütasyonu).
Bu temel bilgiler ışığında, görseldeki soruları şimdi ayrı ayrı inceleyelim.
1) Soru 67
“5 farklı ressamın 5 farklı tabloyu resmetmesi ve tablolara numara verilmesi, numara ile ressam eşleşmeleri düşünüldüğünde kaç permütasyon mümkündür?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: Elimizde 5 farklı ressam (R1, R2, R3, R4, R5 gibi) ve 5 farklı tablo (T1, T2, T3, T4, T5 gibi) bulunuyor.
- Amaç: 5 tabloya 5 ressamı atamak ve tablolara sayılar da farklı olarak verildiğinden (dolayısıyla her tablo farklı bir iş gibi düşünülebilir) kaç farklı eşleşme olabileceğini bulmak istiyoruz.
- Yöntem: 5 farklı tabloya 5 farklı ressam ataması, bir 5 elemanın permütasyonudur. Her ressam farklı tablonun sahibi olacağından, bu 5! şeklinde hesaplanır.
Hesaplama
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
Cevap: Toplam 120 farklı permütasyon mümkündür.
2) Soru 68
“10 kişilik listeden 4 kişiyi seçecek ve bu 4 kişiye A, B, C, D etiketleri verilecek. Kaç farklı etiketleme sırası oluşur?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 10 farklı kişi (K1, K2, …, K10) var. Seçeceğimiz kişi sayısı 4. Seçimden sonra bu 4 kişiyi sıralı etiketlerle (A, B, C, D) etiketleyeceğiz.
- Amaç: “Bir kümeden 4 kişiyi seçmek ve o 4 kişinin etiketlerini atayarak sıra yaratmak” soruluyor.
- Yöntem – Kombinasyon + Permütasyon:
- Önce 4 kişi seçilir: Bu, kombinasyonla (C(10, 4)) hesaplanır.
- Seçtiğimiz 4 kişiye A, B, C, D şeklinde ayrı etiket verilmesi, 4 kişiyi 4! şekilde sıraya sokmakla eşdeğerdir.
- Dolayısıyla toplam yollar, ( C(10, 4) \times 4! ) olacaktır.
Detaylı Hesaplama
-
Kombinasyon:
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 -
Etiketleme sırası (4 kişiyi sıralamamız gerektiği için 4!):
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 -
Sonuç:
210 \times 24 = 5040
Cevap: Toplam 5040 farklı etiketleme (sıralama) oluşur.
Not: Bu işlem, doğrudan permütasyon formülü ( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} ) ile de bulunabilir.
P(10,4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040
3) Soru 69
“6 kişilik bir koroda, ‘solo sırası’ diye adlandırdığımız 6 basamaklı bir sıralama yaparken kaç farklı yolları vardır?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 6 kişi (K1, K2, K3, K4, K5, K6).
- Amaç: Tüm 6 kişinin solo sırasını düzenlemek.
- Yöntem: 6 kişiyi sıraya koyacaksak bu, 6 elemanın permütasyonudur ve hesaplaması 6!’dır.
Hesaplama
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
Cevap: Toplam 720 farklı “solo sırası” mümkündür.
4) Soru 70
“5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç değişik atama şekli vardır?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 5 farklı renk (R1, R2, R3, R4, R5) ve 5 farklı manken (M1, M2, M3, M4, M5).
- Amaç: Her mankene farklı bir renk kıyafet atamak.
- Yöntem: 5 mankene 5 kıyafeti dağıtma, 5 elemanın permütasyonudur. Yani 5! şekilde atama yapılır.
Hesaplama
5! = 120
Cevap: Toplam 120 farklı atama şekli vardır.
5) Soru 71
“8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizerken elde edilebilecek farklı sıralama sayısı kaçtır?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 8 farklı puzzle parçası.
- Amaç: Dikey bir sütunda üst üste dizerken (aslında yatay dizmeden farkı yok, sonuçta sıra önemli) bu 8 parçanın sıralarını bulmak.
- Yöntem: 8 elemanın permütasyonuna bakıyoruz, yani 8!.
Hesaplama
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320
Cevap: Toplam 40.320 farklı sıralama mümkündür.
6) Soru 72
“5 farklı matematik sorusunu, ilk soruyu sabitledikten sonra diğer 4’ün sıralamasını kaç farklı şekilde düzenleyebilirsiniz?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 5 farklı matematik sorusu (S1, S2, S3, S4, S5).
- Amaç: İlk soru sabit kalsın, geriye kalan 4 sorunun sırasını düzenleyelim.
- Yöntem: Geriye kalan 4 soruyu bir sıraya koymak = 4!.
Hesaplama
4! = 24
Cevap: Toplam 24 farklı sıralama mümkündür.
7) Soru 73
“4 turistik şehirden 3’ünü gezecek ve gezme sırasının önemli olduğu bir planda kaç farklı rota mümkündür?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 4 şehir (Ş1, Ş2, Ş3, Ş4).
- Amaç: 4 şehirden 3 tanesi seçilerek, bu 3 şehir gezilecek ve gezme sırası önemli.
- Yöntem: Sıralı seçimin formülü ( P(4, 3) ) (4 şehrin 3’lü permütasyonu) kullanılır.
Hesaplama
P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 24
Cevap: Toplam 24 farklı rota mümkündür.
8) Soru 74
“7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, kaç farklı sözlü sırası oluşturulabilir?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 7 öğrenci (O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7).
- Amaç: Hepsini sırayla sözlüye alıyoruz. Bu, 7 elemanın sıralamasıdır.
- Yöntem: 7! hesaplanır.
Hesaplama
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040
Cevap: Toplam 5040 farklı sözlü sırası oluşturulabilir.
9) Soru 75
“10 farklı hediyeden 3’ünü seçip birinci vereceğim, ikinci vereceğim ve üçüncü vereceğim şeklinde sıralamanın kaç yolu vardır?”
Adım Adım Çözüm
- Veriler: 10 hediye (H1, H2, …, H10).
- Amaç: 3 hediye seçilecek ama seçerken ilk, ikinci ve üçüncü diye sıralamaya dikkat ediliyor.
- Yöntem: Bu, permütasyondur. 10’un 3’lü permütasyonu ( P(10,3) ) kullanılır.
- Alternatif olarak şöyle de düşünebilirsiniz:
a) 3 hediye sırasız seçimi: ( C(10, 3) = 120 ).
b) Seçilen 3 hediyeyi sıralamak (3! = 6).
c) Toplam: (120 \times 6 = 720 ).
- Alternatif olarak şöyle de düşünebilirsiniz:
Hesaplama
P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720
Cevap: Toplam 720 farklı yol vardır.
Konu ile İlgili Önemli Açıklamalar ve İpuçları
Bu tür permütasyon ve kombinasyon problemleri çözerken dikkat edilmesi gerekenler:
-
Seçimler Sıralı Mı, Değil Mi?
Eğer seçilen kişiler ya da nesneler arasında etiket, sıra veya rol farkı söz konusuysa, tipik olarak permütasyon devreye girer. Sıralama / etiketleme yok ise kombinasyon yeterli olur. -
Tüm Elemanların Sıralaması (n elemanın hepsini sıralama): Bu doğrudan n! şeklindedir.
-
Kombinasyon Hesabında (C(n, r)) sonrasında “rol veya sıra” verilecekse, o zaman kombinasyon sonucunu ek olarak r! ile çarpmak gerekir. Örneğin, “10 kişiden 4 kişi seçilecek ve seçilen her kişiye farklı bir etiket verilecek” gibi sorularda bu yol izlenir. Bu, pratik olarak ( P(n, r) ) formülüyle aynı sonucu verir.
-
Factorial Büyümesi
Faktöriyel fonksiyonu çok hızlı büyür, bu yüzden 10! (3,628,800), 12! gibi değerleri ezberlemek bazen pratikte hızlı cevap vermeyi sağlar. -
Notasyonlar:
- ( P(n, r) ) yerine zaman zaman ( {}_nP_r ) yazılabilir.
- ( C(n, r) ) yerine zaman zaman ( {}_nC_r ) veya ( \binom{n}{r} ) notasyonu kullanılır.
-
Ek Örnek:
Örneğin, “8 kişiden 3’ü seçilsin ve bu 3 kişi birinci, ikinci ve üçüncü olarak sıralansın” dendiğinde, hızlıca ( P(8,3) ) veya ( C(8,3)\times 3! ) şeklinde hesaplanabilir.
Soru ve Cevapların Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda son 9 soruya ait çözüm formülü ve sonuçlar özetlenmiştir.
| Soru No | Soru İçeriği | Kullanılan Formül | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 67 | 5 farklı ressam + 5 farklı tablo, tabloya numara ve ressam ataması | 5! | 120 |
| 68 | 10 kişinin arasından 4’ü seçilecek, A/B/C/D etiketleri verilecek | ( C(10,4)\times 4! ) veya ( P(10,4) ) | 5040 |
| 69 | 6 kişilik koroda, 6 basamaklı “solo sırası” | 6! | 720 |
| 70 | 5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirme | 5! | 120 |
| 71 | 8 farklı puzzle parçasını üst üste dizme | 8! | 40320 |
| 72 | 5 farklı matematik sorusu, ilk soru sabit, kalan 4’ün sıralanışı | 4! | 24 |
| 73 | 4 turistik şehirden 3’ünü sıralı olarak gezme | (P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = 24) | 24 |
| 74 | 7 öğrenciyi sınavda sırayla sözlüye alma | 7! | 5040 |
| 75 | 10 farklı hediyeden 3’ünü seçip birinciden üçüncüye kadar sıralamada verme | (P(10,3)) veya ( C(10,3)\times 3! ) | 720 |
Geniş Kapsamlı Açıklamalar (Yaklaşık 2000+ Kelime)
Aşağıdaki kısımda, öğrencilerin permütasyon ve kombinasyon konusunu daha derinlemesine anlaması için kapsamlı açıklamalar, örnekler ve ek bilgileri sunacağız. Bu, aynı zamanda yukarıdaki soruların mantığını pekiştirmek içindir.
1. Permütasyon Nedir?
Permütasyon, “n” elemandan oluşan bir kümede, “r” elemanın belirli bir sırasına odaklanan tüm düzenlemelerinin sayısıdır. Örneğin, 10 kişinin içinden 4 kişi seçip o 4 kişiyi belirli bir sırayla dizmek istediğinizde, sıra önemli olduğu için permütasyon formülü kullanırsınız. Sembolik olarak:
P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Burada:
- ( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 ).
- ( (n-r)! ) ise n-r’den 1’e kadar çarpım değerini ifade eder.
Küçük bir örnekle açıklarsak: “3 kişiden 2 kişi seçeceğim ve seçilen bu 2 kişiyi birinci ve ikinci koltuklara oturtacağım” dediğimizde:
- Seçim: 3 kişiden 2’sini seçiyoruz.
- Sıralama: Seçtiğimiz iki kişi, 2 koltuğa sırayla yerleştirilecek.
- Hesap: ( P(3,2) = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 6 ).
2. Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, “n” elemandan oluşan bir kümede, “r” elemanın sırasız seçimine odaklanır. Formülü:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Örneğin, 5 kişiden 2 kişiyi kulübe temsilci olarak seçeceksiniz. Burada sıranın bir önemi olmadığını (başkan-başkan yardımcısı gibi ayrı bir görev ayrımı yoksa) varsayarsak, “5 kişiden 2 seçmek” ifadesi kombinasyondur ve:
C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = 10
bulunur.
3. Neden “Seç ve Etiketle” Durumunda Kombinasyon × Permütasyon?
Sorularda sıkça rastlanan bir durum “4 kişiyi seçeceğiz ama seçtiğimiz bu kişilere A, B, C, D gibi etiketler vereceğiz” şeklinde ifade edilir. Burada, önce 4 kişi seçilir (kombinasyon), sonra bu 4 kişi etiketlere (sıralı roller) atanır (permütasyon). Formül olarak:
C(n, r) \times r! = \frac{n!}{r!(n-r)!} \times r!
Algebraik sadeleştirme yapıldığında görülür ki bu pratikte:
C(n, r) \times r! = \frac{n!}{(n-r)!} = P(n, r)
eşitliğine varılır; çünkü sıralama eklenerek aslında tam bir permütasyon elde edilmiş olur.
4. Tam sıralama (n Elemanın Tümü) Durumu
Eğer soruda, bir kümedeki tüm elemanların sıralanması isteniyorsa formül artık kısaca:
n!
şeklindedir. Örneğin, 6 kişiden oluşan bir koroda herkes “solo” söyleyecekse, 6 kişinin dizilmesi 6! = 720 yol olduğu gibi.
5. Gerçek Hayattan Örnekler
- Kitap Dizme: Bir rafta 8 farklı kitabı diziyorsanız, 8! = 40.320 farklı dizilim yolu vardır.
- Sınav Sırası: 7 öğrenciyi sırayla sözlüye çağıracaksanız, 7! = 5.040 farklı sıra mümkündür. Bu rakam, görece yüksek bir değerdir ve özünde faktöriyel büyümenin ne kadar çabuk arttığını gösterir.
- Randevu Planlama: 5 farklı randevuyu 5 farklı saat aralığına atarken yine 5! = 120 farklı atama bu mantıkla hesaplanır.
6. Faktöriyel Büyümesi ve Büyük Sayılar
Faktöriyel değerler çok hızlı büyüdüğünden:
- 5! = 120
- 6! = 720
- 7! = 5.040
- 8! = 40.320
- 9! = 362.880
- 10! = 3.628.800
- 11! = 39.916.800
- 12! = 479.001.600
Tablolardan da görüldüğü gibi, 10’dan sonra sayılar milyon ve milyarı aşan değerlere çok hızlı ulaşıyor. Dünyadaki birçok belirli düzenlemede, “n!” ifadesi bazen somut olarak hesaplanamaz kadar büyük değerlere çıkabilir.
7. Detaylı Bir Uygulama Örneği
Örneğin, “10 kişiden 4’ü bir jüride görev yapacak ve jurideki pozisyonların ayrı isimleri olduğunu” varsayalım. Pozisyonlar: “Başkan”, “Başkan Yardımcısı”, “Sekreter” ve “Üye” gibi öneme sahip roller olsun. Bu durumda yine 10 kişiden 4 kişi seçmek ve sonra bu 4 kişiyi pozisyonlara atamak gerekir. Sırayla:
- Seçim: 10 kişiden 4 kişi seçilir: ( C(10,4) = 210 ).
- Sıralama (4 kişiyi 4 farklı göreve atamak): ( 4! = 24 ).
- Toplam: ( 210 \times 24 = 5040 ).
Aynı sonucu, doğrudan “10’dan 4’lü permütasyon” yaklaşımıyla ( P(10,4) ) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 bulabiliriz. Bu kadar büyük seçenek olması, bazen hayret verici olabilir ama permütasyonun özelliği budur.
8. Benzer Sorular Nasıl Çözülür?
Görseldeki soruların mantığı, benzer şekilde her zaman şu yolu izlemenizi önerir:
- Temel soruyu yorumlayın: Hangi sayıda nesne var? Kaçını seçiyorsunuz? Sıra veya etiket var mı?
- Sıra varsa: Permütasyon formülü (P(n, r)) veya “Kombinasyon çarpı r!” yoluyla çözebilirsiniz.
- Sıra yoksa: Kombinasyon formülü (C(n, r)).
- Hepsi sıralanıyor mu?: n!
- Rakamları hesaplayın:
- Kombinasyon veya permütasyon değerlerini basit faktöriyel çarpımları olarak açın.
- Küçük sayılarla kısaltma yapabilir, daha hızlı sonuca gidebilirsiniz.
- Mümkünse sonucu akla yakınlıkla kıyaslayın: Yanlış bir yerde 10! = 362.880 yerine 36.288 gibi bir hata yapmamaya dikkat edin.
9. Soru Çözümlerindeki Tipik Hatalar
- Sıra ayrımını unutmak: Etiketleme veya sıralama varsa, basitçe C(n, r) yapmak hatalı olur. Etiketleri unutmamak için ya permütasyon formülünü ya da “C(n, r) × r!” yaklaşımını kullanmalısınız.
- Yanlış faktöriyel değeri: Özellikle 7!, 8! gibi değerler ezbere bilinmediğinde çarpımda hata yapılabilir. Dikkatli çarpmak gerekir.
- d ve r faklı: n mesela 10, r = 4. “(10-4)! = 6!” olduğunu veya r! = 4! = 24 olduğunu yanlış hesaplamak yaygındır.
10. Daha Büyük Örnek Soru
Sorulardan birini genelleştirip daha çetrefilli hale getirelim: “10 kişilik bir grup var, 4 kişiyi seçeceğiz. Bu kişiler A, B, C, D koltuklarına oturacak (koltukların yeri de sabit olsun). Ayrıca, grupta her seçilen kişinin cinsiyeti önemliyse (örneğin 2’si bayan olacak, 2’si erkek olacak) diye ek koşullar olabilir. Her koşul eklendiğinde, önce kombinezonla kimlerin seçilebileceği hesaplanır, sonra da oturma sırası (A, B, C, D) ile permütasyon yapılır. İşte bu mantık, kombinatorik problem çözümünün temelini oluşturur.
11. Ek Kaynaklar
- Khan Academy, Kombinasyon ve Permütasyon
- MIT OpenCourseWare, Introduction to Probability
- OpenStax, College Algebra bölümleri
- Schaum’s Outline, Combinatorics
Bu kaynaklarda birçok örnek problem ve açıklamaya ulaşarak pratik yapabilirsiniz. En kritik nokta, önce problemi doğru yorumlamak, sonra doğru formül veya kombinasyon-permütasyon yaklaşımı seçmektir.
Sonuç ve Genel Özet
Görselde belirtilen soruların her biri, ya n elemanın tüm düzenlemesi (n!) ya da n elemandan r elemanı seçip sıralama (( P(n, r))) veya basitçe n elemandan r elemanı seçip (C(n, r)) daha sonra r! ile çarpmak mantığını içerir. Soruların çözümleri şu şekilde toplanabilir:
- Soru 67: 5 ressam, 5 tablo. Cevap: 5! = 120.
- Soru 68: 10 kişiden 4’ünü seç, A/B/C/D etiketi ver. Cevap: 10’dan 4’lü permütasyon = 5040.
- Soru 69: 6 kişilik koroda solo sırası. Cevap: 6! = 720.
- Soru 70: 5 kıyafeti, 5 mankene giydir. Cevap: 5! = 120.
- Soru 71: 8 puzzle parçasını üst üste diz. Cevap: 8! = 40.320.
- Soru 72: 5 soru, 1’i sabit, kalan 4’ü sırala. Cevap: 4! = 24.
- Soru 73: 4 şehirden 3 şehir gez, sıra önemli. Cevap: P(4,3) = 24.
- Soru 74: 7 öğrenciyi sırayla sözlüye al. Cevap: 7! = 5040.
- Soru 75: 10 hediyeden 3’ünü seç, ilk/ikinci/üçüncü vereceğin sırayla. Cevap: P(10,3) = 720.
Tüm bu sorular, sıralamanın (veya etiketlemenin, rol vermenin, dizilişin) söz konusu olduğu durumlarda permütasyon; sadece seçimin yeterli olduğu durumlarda kombinasyon formülünün nasıl kullanıldığını göstermektedir. Permütasyon formülü kısa yoldan işlem yapmak için oldukça etkilidir:
P(n, r) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-r+1)
Çıkan sonuçlar, teoride son derece büyük değerlere ulaşabilir, ancak sorularda genellikle 8!, 9!, 10! gibi makul aralıkta sayılar istenir.
Bu tür sorularla sıklıkla karşılaşan bir öğrenci, faktöriyel değerlerini (özellikle 6!, 7!, 8!, 9!, 10!) ve kombinezon formüllerini çarpım tablosu gibi ezberlerse zamandan tasarruf eder. Fakat ezberlemenin yanı sıra, her problemi doğru yorumlama ve doğru mantığı seçmek çok daha önemlidir.
En sonda sunulan tablo (Soru No, Formül, Sonuç) da bu soruların özünü yansıtır. Eğer başka bir problemde kombinasyon mu permütasyon mu kullanmanız gerektiğinden emin değilseniz, “Seçim + sıralama var mı?” sorusunu kendinize yöneltin. Eğer sıralama veya farklı rollere atama varsa doğrudan permütasyon ya da kombinezon çarpı r! formülü uygulanır.
Bu uzun anlatımla birlikte, görseldeki 67 ila 75 numaralı sorular tamamlanmıştır. Umarız ki bu detaylı anlatım hem konuyu pekiştirmenize hem de farklı soru tiplerine hazırlıklı olmanıza yardımcı olur.