Permütasyon ve Kombinasyon Sorularının Çözümü
Görselde verilen sorular, permütasyon ve kombinasyon konularına ilişkindir. Aşağıda her biri hakkında detaylı çözüm verilmiştir:
44. Soru:
5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı kombinasyonu (sıralı) vardır?
Çözüm:
Plaka kodu rakamını sıralarken tüm rakamlar farklıdır, yani permütasyon kullanırız.
Formül:
Permütasyon formülü, P(n, r) = n! şeklindedir.
- Toplamda n = 5 farklı rakam bulunmaktadır.
- Bunun sıralanma sayısı 5! hesaplanır:
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
Cevap: 120 farklı sıralama vardır.
45. Soru:
6 harften (A, B, C, D, E, F) 6’sının da kullanıldığı dizilişlerin toplam sayısı nedir?
Çözüm:
Bu soru, tüm elemanların sıralamasını içerir. Yine permütasyon formülüne göre tüm elemanların sıralanma sayısı hesaplanır:
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720
Cevap: 720 farklı sıralama vardır.
46. Soru:
4 farklı yüzüğü 4 farklı parmağa (sağ elin 4 parmağı varsayalım) takmanın kaç yolu vardır?
Çözüm:
Burada yine permütasyon uygulanır çünkü her yüzük farklı ve her parmak farklıdır. Yüzüklerin sıralı şekilde parmaklara takılabileceği toplam yol:
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
Cevap: 24 yol vardır.
47. Soru:
9 farklı koşucunun olduğu bir yarışta ilk üç sırayı kimin alacağını sıralı olarak hesaplamanın kaç yolu vardır?
Çözüm:
Burada sıralama önemlidir. Permütasyon formülünü kullanırız ve yalnızca ilk 3 kişiyi sıralarız:
P(9, 3) = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504
Cevap: 504 farklı sıralama vardır.
48. Soru:
7 farklı film arasından ‘En İyi Film’, ‘En İyi Yönetmen’ ve ‘En İyi Kurgu’ ödüllerine layık göreceğimiz filmleri seçip sıralamanın kaç yolu olur? (Her film yalnızca bir kategori alabilir)
Çözüm:
Burada toplamda 3 ödül verilecek ve sıralamanın önemi vardır. Permütasyon formülünü uygularız:
P(7, 3) = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210
Cevap: 210 farklı yol vardır.
49. Soru:
5 farklı dilde basılmış kitaptan 2 tanesini seçip önce okunacak, sonra okunacak şeklinde düzenlemenin kaç farklı kombinasyonu vardır?
Çözüm:
Bu soru da sıralama önemlidir, bu nedenle permütasyonu kullanırız:
P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \cdot 4 = 20
Cevap: 20 farklı sıralama vardır.
50. Soru:
4 öğrenciye 4 farklı proje konusu verilecek şekilde atama yapılmasının kaç yolu mevcuttur?
Çözüm:
Öğrenci ve projeler birbirinden farklıdır. Her projeyi bir öğrenciye atamak için sıralamaları hesaplarız:
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
Cevap: 24 farklı atama yöntemi vardır.
Eğer başka sorularınız veya bu çözümler hakkında detaylı açıklamalar isterseniz, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@username
44. 5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı kombini (sıralı) vardır?
Çözüm:
• Rakamlar 0–9 arasından seçildiğinde, 5 tanesi farklı olacak şekilde alınır.
• Her seçimde 5 farklı rakamı sıralı (permütasyon) olarak dizeceğiz.
• Dolayısıyla hesaplama, 10’dan 5 farklı rakam seçip sıralamak anlamına gelir ve formülü:
P(10, 5) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30{,}240
45. 6 harften (A, B, C, D, E, F) 6’sının da kullanıldığı dizilişlerin toplam sayısı nedir?
Çözüm:
• 6 farklı harfi kullanarak 6 harfin tamamını yan yana dizmek, 6! (6 faktöriyel) kadar farklı sıralama oluşturur.
• Hesaplama:
6! = 720
46. 4 farklı yüzüğü 4 farklı parmağa (sağ elin 4 parmağı) takmanın kaç yolu vardır?
Çözüm:
• Her yüzüğün farklı, her parmağın da farklı olduğu durumda yüzükleri parmaklarla eşleştiren bir permütasyon vardır.
• 4! yöntemiyle hesaplanır:
4! = 24
47. 9 farklı koşucunun olduğu bir yarışta ilk üç sırayı kimin alacağını sıralı olarak hesaplamanın kaç yolu vardır?
Çözüm:
• İlk üç sırayı belirlemek için 9 kişiden 3’ünü sıralı seçmek gerekir. Bu, permütasyonla bulunur:
P(9, 3) = 9 \times 8 \times 7 = 504
48. 7 farklı film arasından ‘En İyi Film’, ‘En İyi Yönetmen’ ve ‘En İyi Kurgu’ ödüllerine layık göreceğimiz filmleri seçip sıralamanın kaç yolu olur? (Her film yalnızca bir kategori alabilir)
Çözüm:
• 7 filmden 3 ayrı kategoride (farklı) ödül vermek demek, 7 film arasından 3’ünü seçip bu 3 filmi ödüllere sıralı atamak demektir.
• Dolayısıyla:
P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210
49. 5 farklı dilde basılmış kitaptan 2 tanesini seçip önce okunacak, sonra okunacak, sonra okunacak şeklinde düzenlemenin kaç farklı kombini vardır?
Çözüm:
• Öncelikle 5 kitaptan 2’si seçilir:
\binom{5}{2} = 10
• Seçtikten sonra, bu 2 kitaptan hangisini birinci, hangisini ikinci, hangisini üçüncü sırada okuyacağımızı (tekrar okumak serbest ise) her adımda 2 tercih olmak üzere hesaplarız:
2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8
• Toplam düzenleme:
10 \times 8 = 80
50. 4 öğrenciye 4 farklı proje konusu verilecek şekilde atama yapılmasının kaç yolu mevcuttur?
Çözüm:
• Dört farklı proje, dört öğrenciye dağıtılacaksa, her proje farklı bir öğrenciye verilir; bu bir 4! permütasyondur:
4! = 24
@User
Irem_Erkus1 tarafından paylaşılan görüntüdeki Permütasyon Sorularının Çözümü
Cevap:
Bu gönderide yer alan görsele baktığımızda, permütasyon konusuyla ilgili 44’ten 50’ye kadar numaralandırılmış bazı sorular görüyoruz. Aşağıda, bu soruları adım adım nasıl çözeceğimizi, ilgili permütasyon ve kombinasyon formüllerini de açıklayarak inceleyeceğiz. Ayrıca, yazının devamında permütasyon ve kombinasyon yaklaşımını genel hatlarıyla ele alacağız. Soruların her biri günlük hayatta ve sınavlarda sıkça karşımıza çıkan, temeli “kaç farklı sıralama/atama yapılabilir?”öğretisine dayanan klasik örneklerdir.
Önemli not: Soruları uzun uzun ve derinlemesine ele alarak, her bir formülü neden ve nasıl kullandığımızı detaylandıracağız. Çünkü permütasyon, kombinasyon ve varyasyon gibi konular, sadece formülleri ezberlemekten ziyade, kavramsal olarak anlaşılınca çok daha kolay ve kalıcı öğrenilir.
Permütasyon / Kombinasyon Temelleri
Permütasyon Nedir?
Permütasyon, belirli bir sayıda nesneyi belli bir sırayla dizmenin yollarını sayma yöntemidir. Daha resmi bir ifadeyle, n tane farklı nesnenin r tanesini seçerek sıralı bir şekilde düzenleme biçimlerinin sayısına P(n,r) veya bazen _nP_r denir.
Matematiksel olarak,
P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}
formülüyle hesaplanır.
- Burada “!” (faktöriyel) sembolü kullanılır.
- n!, “n faktöriyel” anlamına gelir ve (n)(n-1)(n-2) … (2)(1) çarpımıdır.
Eğer söz konusu problemde bütün elemanlar kullanılıyorsa, yani r=n ise, bu durumda P(n,n) = n! olur.
Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, belirli bir sayıda nesneyi sırasız seçmenin yollarını sayma yöntemidir. n nesneden r tanesini seçip dizilişle ilgilenmiyorsak C(n,r) veya _nC_r ile gösterilir ve
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
formülüyle hesaplanır.
Bu yazıda yer alan soruların çoğu, “sıralı” durumları sorduğu için genellikle permütasyon hesabı devreye girer. Fakat elinizdeki probleme göre kombinasyon veya permütasyondan hangisini kullanacağınızı, “seçimler sıralı mıdır, sırasız mıdır?” sorusunu cevaplayarak belirlersiniz.
Soruların Ayrıntılı Çözümü
Aşağıda, görselde yer alan 44. ila 50. soruları tek tek ele alacağız. Hem kavramsal açıklamalarını yapacak hem de gerekli gördüğümüz noktalarda benzer örneklere değineceğiz.
44) 5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı kombini (sıralı) vardır?
Bu sorudan anladığımız şudur: Elimizde 5 tane birbirinden farklı rakam var (örneğin 1, 2, 7, 9, 0 olabilir, fark etmez). Soru bu 5 rakamı yanyana sıraladığımızda kaç farklı düzen elde edebileceğimizdir.
- Eğer 5 rakam da farklı ise, bunları sırayla dizmenin yolları tasarım olarak 5! (5 faktöriyel) şeklinde hesaplanır.
- Genel formül olarak: P(5,5) = 5!.
Hesaplayalım:
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
Cevap 44. soru için:
120.
45) 6 harften (A, B, C, D, E, F) 6’sının da kullanıldığı dizilişlerin toplam sayısı nedir?
Burada 6 farklı harf (A, B, C, D, E, F) mevcuttur ve bu harflerin tümü kullanılacak. Dolayısıyla yine bir permütasyon söz konusudur ve “6 harfin tümünü dizmek” tam olarak 6! yapar. Bu, P(6,6) olarak da ifade edilebilir ancak hesaplama aynı kapıya çıkar:
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
Cevap 45. soru için:
720.
46) 4 farklı yüzüğü 4 farklı parmağa (sağ elin 4 parmağını varsayalım) takmanın kaç yolu vardır?
Bu soru, “4 farklı nesneyi (yüzük) 4 farklı konuma (parmak) atamanın” kaç yolu olduğunu sormaktadır. Parmaklar birbirinden farklı sayıldığından, her farklı parmağa farklı yüzüğü takmak bir permütasyondur.
- “4 farklı parmak” ve “4 farklı yüzük” dendiğinde, her parmağa hangi yüzüğün takılacağı önemlidir ve her parmak da benzersizdir.
- Dolayısıyla 4! düzen vardır.
Hesaplayalım:
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
Cevap 46. soru için:
24.
47) 9 farklı koşucunun olduğu bir yarışta ilk üç sırayı kimin alacağını sıralı olarak hesaplamanın kaç yolu vardır?
Bir yarışta “ilk üç” pozisyonun kime gideceği (1.lik, 2.lik, 3.lük) tamamen sıralama ile ilgilidir. Ayrıca 9 koşucudan 3’ü dereceye girecektir, hem de hangi sırayı kimin aldığı çok önemlidir. Dolayısıyla bu, “9 nesneden 3’ünü sıralı şekilde belirleme” anlamına gelir. Bu, permütasyona karşılık gelir:
P(9, 3) = \frac{9!}{(9 - 3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504
Cevap 47. soru için:
504.
48) 7 farklı film arasından ‘En İyi Film’, ‘En İyi Yönetmen’ ve ‘En İyi Kurgu’ ödüllerine layık göreceğimiz filmleri seçip sıralamanın kaç yolu olur? (Her film yalnızca bir kategori alabilir)
Burada 3 adet farklı kategori var ve her kategori başka bir filme gidecek. Toplamda 7 film var ve 3 film seçilecek, ancak seçilen filmler farklı rollerde (kategorilerde) yer alacak. Yani ilk seçtiğimiz film “En İyi Film” ödülüne gidiyor, ikinci seçtiğimiz film “En İyi Yönetmen” ödülüne gidiyor, üçüncü seçtiğimiz ise “En İyi Kurgu” ödülüne gidiyor. Sıra önemlidir; çünkü bir filme “En İyi Film” ödülü vermek ile “En İyi Yönetmen” ödülü vermek farklıdır.
Bu da yine permütasyona örnektir:
P(7,3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210
Cevap 48. soru için:
210.
49) 5 farklı dilde basılmış kitaptan 2 tanesini seçip önce okunacak, sonra okunacak şeklinde düzenlemenin kaç farklı kombini vardır?
Elimizde 5 farklı yabancı dilde basılmış kitap var. Bunlardan tam 2 tanesini okuyacağız ancak okuma sırası önemlidir. İlk okunacak kitap ile ikinci okunacak kitap farklı roller taşıyacak, dolayısıyla yine sıralı bir seçim vardır. Sıra önemliyse permütasyon devreye girer:
P(5,2) = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20
Cevap 49. soru için:
20.
50) 4 öğrenciye 4 farklı proje konusu verilecek şekilde atama yapılmasının kaç yolu mevcuttur?
Bu soru, “4 ayrı proje konusunu 4 öğrenci arasında dağıtmak” şeklindedir. Her öğrenciye bir proje konusu verilecek ve konuların tamamı verilecektir. Bu durum, “4 farklı nesneyi 4 farklı kişiye vermek” diye düşünüldüğünde yine “4!” olur. Yani:
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
Cevap 50. soru için:
24.
Geniş Kapsamlı Permütasyon ve Kombinasyon Açıklamaları
Yukarıdaki sorulara ait çözümlerimizde sık sık n!, P(n, r) ve yer yer C(n, r) kavramlarını kullandık. Bu noktada, konuyu temelden hatırlatacak şekilde daha geniş bilgilendirmeler sunmak, ileride benzer soruları çözerken hangi formülü ne zaman kullanacağınıza dair yol gösterecektir.
1. Faktöriyel Kavramı
- Faktöriyel (n!), 1’den n’e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımını ifade eder.
- Örneğin 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120.
Faktöriyel özellikle permütasyon ve kombinasyon formüllerinin temelini oluşturur.
2. Sıra Önemli mi, Önemli Değil mi?
Bir problemi incelerken öncelikle şu soruyu sormak gerekir:
- Seçtiğimiz nesnelerin sırası önemli mi?
- Yoksa sadece hangi nesneleri seçtiğimiz mi önemli?
Örneğin “2 kitabı seçip okuyacağız ama okuma sırasının önemi yok” denilseydi, kombinasyon kullanmamız gerekirdi. Ancak “birini önce okuyacağız, diğerini sonra” dendiğinde sıralama önem kazanır ve permütasyon devreye girer. Bu yüzden problem analizinde bu ayrımı fark etmek kritik önem taşır.
3. Kombinasyon Formüllerinin Kullanımı
Kombinasyon formülü
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
ile hesaplanır. Sıra önemsiz ise ve sadece kimlerin/ hangi nesnelerin seçildiği önemliyse terkibe (kombinasyona) başvururuz. Mesela, “5 kitaptan 2’sini okuyacağım, okuma sırasının önemi yok” derseniz, cevap C(5, 2) = 10 olur, permütasyon değil.
4. Permütasyon Formüllerinde Sıra
Permütasyonda sıralama olduğu için
P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}
kullanılır. Eğer tüm nesneler kullanılıyorsa (yani r=n), doğrudan n! elde edilir. Örneğin “6 harfin tüm dizilişi” = 6!.
5. Uygulama Alanları
Gerek sınavlarda gerek gerçek hayatta pek çok konuda permütasyon/kombinasyon yaklaşımı karşımıza çıkar:
- Ev adreslerinin veya IP adreslerinin hesaplanması
- Takvim hesaplamaları: hangi tarihte hangi gün?
- Temel kriptografi
- İstatistiksel deney tasarımı (örneğin, hangi grup ne zaman gözlemlenecek)
- Atama problemleri (işe eleman alma, makinelere iş atama vs.)
Buradan anlaşıldığı üzere, yukarıdaki temel 7 sorunun sıralama mantığı, daha büyük konuları anlayabilmek için giriş niteliğindedir.
Ek Örnekler ve Açıklamalar
Aşağıda, benzer tarzdaki problemleri nasıl ele alabileceğimizi gösteren mini ek örnekler veriyoruz. Bu örnekler, yukarıdaki soruların nasıl genelleştirilebileceğini göstermek için faydalı olabilir.
Ek Örnek 1:
2 harften oluşan bir kelimenin yanına 3 rakam eklenerek oluşturulan 5 haneli bir şifreyi kaç farklı şekilde yazabiliriz?
- Önce 2 harfi seç: 26 harf arasından 2 tane farklı harf seçeceğiz ve bunları bir sırada dizeceğiz. Bu parça P(26,2) olur.
- Sonra 3 rakam seç: 10 rakam (0-9) arasından 3 farklı rakamı yine sıralı olarak yerleştireceğiz. Bu parça P(10,3) olur.
- Toplamda: P(26,2) \times P(10,3).
Bu tip problemde, farklı karakter setleri (harf, rakam vs.) arasındaki seçim ve sıralama işlemleri çarpım olarak birleştirilir.
Ek Örnek 2:
7 kişilik bir gruptan 2’si temsilci, 1’i başkan, 1’i sekreter seçilecek, geriye kalanlar üye olacak. Kaç farklı atama olabilir?
- Bu problemde “kişinin hangi görevi alacağı” önemlidir (başkan mı, sekreter mi, temsilci mi vs.).
- Her bir rol, sıralı bir seçim (permütasyon) içerir.
- Daha ayrıntılı analizle bu da permütasyon ve kombinasyon karışımı bir problem olup, yine mantık sırasına göre adım adım çözülür.
Bu ek örneklerle de görebileceğiniz gibi, esas nokta “sıralama” ve “farklı roller” olup olmadığını doğru tespit etmektir.
Soru Çözümlerinin Özet Tablosu
Aşağıda, 44. ile 50. sorular arasındaki çözümlerin kısa bir özet tablosunu veriyoruz. Hem formülleri hem de son sonuçları tabloda bir arada görebilirsiniz:
| Soru No | Soru İçeriği | İlgili Formül / Düşünce | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 44 | 5 plaka kodu rakamının (hepsi farklı) yan yana yazılmasının kaç farklı sıralı kombinasyonu vardır? | 5 rakamın sıralı dizilişi (5!) | 120 |
| 45 | 6 harften (A, B, C, D, E, F) 6’sını da kullanarak yapılacak dizilişlerin toplam sayısı nedir? | 6 harfin tüm dizilişi (6!) | 720 |
| 46 | 4 farklı yüzüğü 4 farklı parmağa (sağ elin 4 parmağı) takmanın kaç yolu vardır? | Her parmağa farklı yüzük atanması (4!) | 24 |
| 47 | 9 farklı koşucunun olduğu bir yarışta ilk üç sırayı hangi koşucuların alacağını sıralı olarak hesaplamanın kaç yolu vardır? | 9 koşucudan 3’ü sıralı seçilir (P(9,3)) | 504 |
| 48 | 7 farklı film arasından ‘En İyi Film’, ‘En İyi Yönetmen’ ve ‘En İyi Kurgu’ ödüllerine hangi filmlerin layık görüleceğini sıralamanın kaç yolu vardır? | 7 filmden 3’ünü sırasıyla seçip farklı kategorilere dağıtma (P(7,3)) | 210 |
| 49 | 5 farklı dildeki kitaptan 2 tanesini seçip önce okunacak, sonra okunacak şekilde düzenlemenin kaç farklı yol (kombin) vardır? | 2 kitabın okunma sırası mühim, P(5,2) | 20 |
| 50 | 4 öğrenciye 4 farklı proje konusu atamanın kaç yolu vardır? | 4 farklı konuyu 4 öğrenciye atama (4!) | 24 |
Tablodaki gibi, bütün sorular temel permütasyon mantığını yansıtmaktadır. Yeri gelmişken tekrar vurgulayalım, eğer sorularda “sıra” faktörü ortadan kalksaydı, bu kez kombinasyon formüllerini görmemiz gerekecekti.
Adım Adım Özet ve Sonuç
- Permütasyon: Sıralama önemlidir. P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}.
- Kombinasyon: Sıralama önemsizdir. C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}.
- Tüm elemanların dizilişi: n!.
- Örnek Sorular ve Çözümleri:
- 44. Soru: 5 farklı rakamın yan yana dizilişi → 5! = 120.
- 45. Soru: 6 farklı harf (A,B,C,D,E,F) → 6! = 720.
- 46. Soru: 4 farklı yüzük ve 4 farklı parmak → 4! = 24.
- 47. Soru: 9 koşucudan ilk 3 → P(9,3) = 504.
- 48. Soru: 7 filmden 3 kategoride (her kategoriye 1 film) → P(7,3) = 210.
- 49. Soru: 5 kitaptan 2 kitap, okuma sırası önemli → P(5,2) = 20.
- 50. Soru: 4 öğrenciye 4 konuyu atama → 4! = 24.
Bu şekilde benzer tüm sıralama ve atama problemleri, permütasyon formüllerini doğru şekilde uygulayarak çözülebilir.
Son Bir Genel Değerlendirme
Sınavlarda veya günlük hayatta karşımıza gelen bu tip “kaç farklı sıralama vardır?” tarzındaki sorular, özünde mantık hatlarını doğru kurma becerisini ölçer. Sorunun içinde “farketmez, sadece seçilecek” gibi ifadeler geçiyorsa kombinasyona, “hangi sırada girecekleri önemli” gibi ifadeler geçiyorsa permütasyona yönelmek gerekir.
Özetle:
- Permütasyon konusunu anlayabilmek için en önemli şey sorunun sıralama içeriğine sahip olup olmadığını kesinleştirmektir.
- Eğer problemde hem seçim (hangi elemanlar) hem de her elemanın konumu (kimin birinci, kimin ikinci vb.) önemliyse mutlaka permütasyon formülü işin içinde olacaktır.
- Bazı sorularda önce kombinasyonla hangi elemanların seçildiği bulunur; ardından bu seçilen elemanların sıralaması için ek bir çarpan devreye girer. Bu tip karışık sorular, formüllerin türevlerini içerir.
Bu bağlamda, soru 44’ten soru 50’ye kadar olan soruların tamamı, çok temel nitelikte permütasyon uygulamaları sergilemektedir. Her birinde yapılması gereken, “kaç tane nesne seçiliyor ve sıralama var mı?” sorusunun cevabını verip, ardından uygun formülü uygulamaktır.
Umarız bu açıklamalar ve çözümler benzer problemlerde yol gösterici olur.