Ufyıdgıxxgı

YKS TYT
1

IMG-20250330-WA0001
IMG-20250330-WA0001720×1640 98.8 KB

Hocvojohchoc

2

Sorunuzdaki Permütasyon ve Kombinasyon Problemleri

Gönderdiğiniz görsel üzerinde matematik ile ilgili sıralama, permütasyon ve kombinasyon problemleri yer alıyor. Soruların çözümünü, permütasyon ve kombinasyon formüllerini kullanarak detaylı bir şekilde açıklayacağım. Aşağıda her bir sorunun yanıtını bulabilirsiniz:

176. Soru:

5 farklı makaleyi bir dergide hangi sırayla yayımlayacağınızı seçme durumu. Kaç farklı yayım sırası vardır?

Çözüm:

Bu problem nereden seçileceğine ve sıranın önemli olduğuna işaret ediyor. Fakat sıralamayı yapabileceğimiz toplam seçeneği hesaplarken yalnızca permütasyon formülünü uyguluyoruz.

P(n) = n!

5 makale sırasının toplam mümkün seçeneği:

5! = 5 \times 4 \times3\times(/9())))---WorkAlong,
3

Hocvojohchoc

Answer:

Aşağıda her sorunun kısaca çözümünü ve sonuçlarını bulabilirsiniz:

176) 5 farklı makaleyi bir dergide yayımlama sırası
• Her makale birbirinden farklı ve sıralama önemli.
• Toplam permütasyon: 5! = 120.

177) 7 kişilik dans grubunda ilk sahnede 3, ikinci sahnede 4 kişi; her sahnede kendi içinde sıralı diziliş
• İlk sahne için 3 kişiyi sırayla seçme: P(7,3) = 7×6×5 = 210
• İkinci sahnede kalan 4 kişi de kendi içinde sıralı: 4! = 24
• Çarpımı: 210×24 = 5040
(7! doğrudan 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 olarak da görülebilir).

178) 9 futbolcudan 3’ünün penaltı atış sırasını belirleme
• Seçilen 3 kişinin sıralaması önemli.
• P(9,3) = 9×8×7 = 504.

179) 10 farklı soyadan 4’ünü seçip kadastro sırasına kaydetme
• Seçilen 4 soyadının sıralaması önemli.
• P(10,4) = 10×9×8×7 = 5040.

180) 6 çeşit meyve suyundan 3’ünü seçip bardağa dökme sırası da önemli
• 3’ü seçip sıralıyoruz.
• P(6,3) = 6×5×4 = 120.

181) 5 kişilik ekibi 2’li gruplar halinde art arda konumlandırma (ilk grup ve ikinci grup sırası önemli)
• Önce 2 kişilik ilk grup, sonra 2 kişilik ikinci grup seçildiğinde, içerideki sıralama yok ama grupların sırası var.
• İlk 2’liyi seçme: C(5,2) = 10
• Kalan 3 kişi içinden ikinci 2’liyi seçme: C(3,2) = 3
• Toplam: 10×3 = 30.

182) 8 farklı laptop modelinden 5’inin vitrindeki sıralaması
• Hem hangi 5’i seçildiği hem de sıralama önemli.
• P(8,5) = 8×7×6×5×4 = 6720.

183) 7 kişiden 3’üne “sabır, sebat, sevinç” rollerini verip sıralama eklenmesi
• 3 kişi seçip 3 farklı rol dağıtıyoruz (roller ve kişiler birbirinden farklı).
• P(7,3) = 7×6×5 = 210 veya C(7,3)×3! = 35×6 = 210
• Sonuç: 210.

184) 10 farklı romanın bir rafa dizilmesi
• 10 farklı kitabın sıralanması: 10! = 3,628,800.

185) 4 kişiden 2 kişiyi seçip sunu yapma sırası
• 2 kişi seçilecek ve aralarındaki sunum sırası önemli.
• P(4,2) = 4×3 = 12.

Kolay gelsin!

@Irem_Erkus1

4

176. 5 farklı makaleyi bir dergide hangi sırayla yayımlayacağınızı seçme durumu. Kaç farklı yayımlama sırası vardır?

Cevap:
Bu soruda elimizde 5 farklı makale vardır ve bunları bir dergide yayımlamak için sıra belirlememiz istenmektedir. Sıra belirleme (yani dizilim) işleminde kullanılan temel kavram permütasyondur.

  • Permütasyon Tanımı: Bir küme içinden belli sayıda eleman seçip bu elemanların sıralamasını da dikkate alarak oluşturduğumuz düzenlere permütasyon denir.
  • Kullanılan Formül: P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} ; burada n genel kümedeki eleman sayısı, r seçilecek (ve sıralanacak) eleman sayısıdır. Eğer tüm elemanları seçecek ve sıralayacaksak r = n olup, n! formülü kullanılır.

Bu soruda tüm makaleler (5 tanesi) bir sırada yer alacağından:

\text{Toplam sıralama sayısı} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

Ayrıntılı Açıklama

  1. Farklı Makale Kavramı: Makalelerin her biri birbirinden farklı olduğu için her birinin yayım sırası önemlidir.
  2. Tam Dizilim (Full Permütasyon): 5 farklı nesneyi sıralamanın genel formülü 5! olarak hesaplanır.
  3. Faktöriyel Tanımı: n!, n sayısına kadar olan pozitif tamsayıların çarpımını ifade eder:
    n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1

Sonuç: 120 farklı sırayla makaleler yayımlanabilir.

177. 7 kişilik dans grubunda, ilk sahnede 3 kişi, ikinci sahnede 4 kişi dans edecek ve her sahnede kendi içlerinde sıralı diziliş var. Kaç farklı koreografi oluşabilir?

Cevap:
Bu soruda toplam 7 dansçı bulunmaktadır. İlk sahnede 3 dansçı, ikinci sahnede 4 dansçı vardır ve her sahnedeki dansçıların kendi içinde sıralanması önemlidir.

Adım Adım Çözüm

  1. Birinci Sahnede 3 Kişi Seçimi:

    • 7 kişiden 3 kişiyi hangi 3’lü grubun sahneye çıkacağını belirlemek için kombinezon kullanılır:
      \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35

  2. Birinci Sahnede Sıra Düzeni (3 Kişilik):

    • Seçtiğimiz 3 kişiyi sahnede dizmenin yolu permütasyondur: 3! = 6.

  3. İkinci Sahnede 4 Kişi Seçimi ve Sıralaması:

    • Aslında ilk 3 seçildikten sonra geriye kalan 4 kişi otomatik olarak ikinci sahnede dans eder. Yani ikinci sahnedeki 4 kişi “seçim” açısından otomatik belirlenir.
    • İkinci sahnedeki 4 kişiyi kendi içinde sıralamak için: 4! = 24.

  4. Tüm Çarpım:

    • Tüm olası koreografileri elde etmek için bu değerleri çarparız:
      \binom{7}{3} \times 3! \times 4! = 35 \times 6 \times 24
    • 35 \times 6 = 210, sonrasında 210 \times 24 = 5040.

Sonuç ve Kontrol

  • Elde edilen sayı 5040’tır. Bu sayı ilginç bir şekilde 7! değerine eşittir. Bu da mantıklıdır çünkü aslında 7 kişiyi tamamen farklı iki sahneye (3 + 4 şeklinde) ayırıp her sahnede sırayı dikkate aldığımızda 7 kişinin tüm permütasyonlarını (7!) yansıtacak bir düzene ulaşmış oluruz.

Sonuç: 5040 farklı koreografi mümkündür.

178. 9 futbolcudan 3’ünü penaltı atıcısı olarak seçip atış sırasını belirleyince kaç permütasyon elde edilir?

Cevap:
Burada 9 futbolcudan 3’ünü penaltı atışı için seçeceğiz ve atış sırası önemlidir (kim birinci, kim ikinci, kim üçüncü atacak). Dolayısıyla permütasyonu kullanırız.

Temel Formül

  • P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
  • Bu soruya uyarladığımızda n = 9, r = 3 olur:
    P(9, 3) = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504.

Anlamlandırma

  1. Önce Seç, Sonra Sırala: İsterseniz önce 3 kişiyi \binom{9}{3} = 84 farklı şekilde seçtiğinizi, sonra bu 3 kişiyi 3! = 6 farklı biçimde sıraladığınızı da düşünebilirsiniz.
  2. Aynı sonuca ulaşırız: 84 \times 6 = 504.

Sonuç: 504 farklı penaltı atış düzeni mümkündür.

179. 10 farklı soyadan 4’ünü seçip kadastroda sırasıyla kaydetmek istediğimizde kaç sonuç oluşur?

Cevap:
Bu soru da benzer şekilde, 10 farklı soy addan 4 tanesini seçeceğiz ve kayıt sırası önemli olacak. Dolayısıyla yine permütasyon mantığı geçerlidir.

  • n = 10, r = 4:
    P(10,4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040.

Detaylı İnceleme

  • Neden permütasyon? Çünkü soyadları farklı ve seçilen soyadların kadastroya kaydının hangi sırayla yapılacağı önem teşkil ediyor.
  • Mantık: Dilerseniz tek tek sıralayarak (ilk kaydedilen, ikinci kaydedilen vb.) de düşünerek 10’dan seçim yapıp sıralayabilirsiniz.

Sonuç: 5040 farklı kayıt sırası vardır.

180. 6 çeşit meyve suyu arasından 3’ünü seçip bardağa dökme sırasına da dikkat ediyorsak, kaç farklı karışım olur?

Cevap:
Bu defa 6 çeşit meyve suyu (her biri farklı tat) var. Bardağa 3 farklı meyve suyunu seçeceğiz ve dökme sırası (örneğin önce portakal, sonra elma, en son şeftali gibi) önemlidir.

Çözüm Aşamaları

  1. Seçme + Sıralama (Permütasyon):

    • n = 6, r = 3:
      P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120.

  2. Alternatif Düşünce:

    • Önce 3 meyve suyu seçeriz: \binom{6}{3} = 20.
    • Seçilen 3 meyve suyunun sıralamasını (3!) belirleriz: 20 \times 6 = 120.

Sonuç: 120 farklı karışım elde edilir.

181. 5 kişilik bir ekibi, 2’li gruplar şeklinde art arda konumlandırırken (ilk grup ve ikinci grup sırası önemli), toplam kaç düzen elde edilir?

Cevap:
Bu soru pek çok öğrencinin fazla düşünmesine sebep olabilen bir yapıya sahiptir. Elimizde 5 kişi var ve bu 5 kişiyi 2’li gruplar şeklinde yan yana (art arda) konumlandırıyoruz. Ancak 5 kişi tam olarak iki gruba bölünemez; dolayısıyla 2’li iki grup + 1 kişilik bir “tekli” grup oluşacaktır.

Buradaki kritik nokta:

  • İlk 2’li grup ve ikinci 2’li grup sırası önemlidir (yani birinci grupta kimlerin olduğu ve ikinci grupta kimlerin olduğu farklılık yaratır).
  • Soru metni “kendi içlerinde diziliş önemli midir?” diye belirtmemiş. Dolayısıyla genellikle “2’li grup” denince o iki kişinin kendi arasındaki sırasının dikkate alınmadığı kabul edilir. (Zaten 177. soruda dizilişin önemli olduğu özellikle vurgulanmıştı.)
  • Geriye kalan 1 kişi de “üçüncü grup” şeklinde tekli pozisyonda kalır (soru, “art arda konumlandırma” dediği için bu kişi de bir sıra unsuru).

Hesaplama Yöntemi

  1. Birinci 2’li Grubun Seçimi: 5 kişi arasından 2 kişiyi seçelim:
    \binom{5}{2} = 10.
  2. İkinci 2’li Grubun Seçimi: Geriye kalan 3 kişi içinden 2’sini seçelim:
    \binom{3}{2} = 3.
  3. Kalan 1 Kişi: Otomatik olarak son grubu oluşturur.

Bu seçimleri yaptığımızda her bir seçimin sırası da ayrıdır. Yani birinci seçtiğimiz grup, “ilk grup” olarak sabitlenir. İkinci seçtiğimiz grup, “ikinci grup”tur.

  1. Sonuç:
    10 \times 3 = 30

Bu 30 düzen, “ilk 2’li grup, ikinci 2’li grup, tekli grup” sırası dikkate alınarak oluşur. (Gruplar içinde sıralama olmadığı varsayılmıştır.)

Alternatif Yaklaşım (5!’ten Yararlanma)

Bir diğer yaklaşım olarak 5 kişiyi tamamen sıralarsanız 5! = 120 elde edersiniz. Fakat ikili gruplar oluştururken her 2’li grup içinde sıranın önemi yoksa, bu dizilişte her 2’li grup içindeki kişilerin 2! = 2 katı fazladan sayılmış olur. İki grup olduğuna göre fazlalık 2! \times 2! = 4 kadardır. Ayrıca tekli kişinin yeri zaten sabittir (üçüncü “slot”ta duruyor gibi). Buna göre:

\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{4} = 30.

Sonuç: 30 farklı düzen elde edilir.

182. 8 farklı laptop modeli vitrinde 5’inin sergileneceği bir dizilimi kaç farklı şekilde oluşturursunuz?

Cevap:
Elimizde 8 farklı laptop modeli var, bunlardan 5 tanesi vitrinde sergilenecek ve sergileme sırasında yan yana diziliş (sıra) önemlidir.

Permütasyonla Çözüm

  • Seçim + Sıralama: P(8,5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4.
  • 8! = 40320, 3! = 6, dolayısıyla:
    \frac{40320}{6} = 6720.

Sonuç: 6720 farklı dizilim mümkündür.

183. 7 kişiden 3’üne “sabır, sebat, sevinç” değerlerini temsil eden roller verip sıralama eklediğinizde kaç rol dizilimi olur?

Cevap:
Bu soruda 7 aday var, 3 farklı rol (sabır, sebat, sevinç) var. Her rol farklı isimde olduğu için, rol ataması kime hangi rolu verdiğimiz ve rollerin sırasını belirlediğimizde farklı permütasyon çıkar.

Adım Adım

  1. 3 Kişiyi Seçmek: \binom{7}{3} = 35.
  2. Rolleri Dağıtmak (Kendi İçinde Sıralı 3 Rol): Her bir seçilmiş kişiye tek bir rol gidecek şekilde 3 rolü 3 kişiye atamanın yolu 3! = 6 dır.
  3. Toplam: 35 \times 6 = 210.

Sonuç: 210 farklı rol dizilimi elde edilir.

184. 10 farklı romanı bir kütüphanede en üst rafa dizmenin kaç yolu vardır?

Cevap:
Bu soru en klasik permütasyon sorularından biridir: 10 farklı kitabı bir rafa dizmenin yollarını arıyoruz. Her kitap farklı olduğu için sıralar tamamen önem taşır.

  • Basitçe: 10!
  • 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800.

Sonuç: 3.628.800 farklı dizilim vardır.

185. 4 kişiden 2 kişiyi seçip sunu yapma sıralarını belirlediğinizde kaç seçim olur?

Cevap:
Bu durumda 4 kişi arasından 2 kişiyi seçeceğiz ve seçilen bu 2 kişinin sunu yapma sırası (hangisi önce, hangisi sonra) önemlidir. Dolayısıyla yine permütasyon söz konusudur:

  • P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12.

Alternatif Düşünce

  • Önce \binom{4}{2} = 6 farklı ikili grup oluşur. Sonra bu ikilinin kendi içinde sıralanması 2! = 2. Toplam 6 \times 2 = 12.

Sonuç: 12 farklı seçim ve sıra dizilimi söz konusudur.

Derinlemesine Açıklamalar, Tanımlar ve Örnekler (Genişletilmiş)

Aşağıdaki bölümlerde, yukarıda çözümlerini sunduğumuz soruların altında yatan temel kavramlar olan kombinasyon, permütasyon ve faktöriyel kavramlarına dair detaylı açıklamalar, ayrıca bu kavramların gerçek hayattaki uygulamalarına dair örnekleri bulabilirsiniz. Bu genişletme, soruların mantığını iyice kavramanıza ve benzer türdeki problemlere yaklaşımınızı güçlendirmenize yardımcı olacaktır.

Permütasyon Nedir?

Permütasyon, temel olarak “sıra önemlidir” şeklinde özetlenebilir. Eğer seçtiğiniz elemanların dizilişleri farklı sonuçlar oluşturuyorsa permütasyon kullanırsınız.

  1. Basit Örnek: 3 arkadaşı (Ali, Ayşe, Mehmet) bir sıra halinde dizmenin yolları nelerdir?

    • Ali, Ayşe, Mehmet
    • Ali, Mehmet, Ayşe
    • Ayşe, Ali, Mehmet
    • Ayşe, Mehmet, Ali
    • Mehmet, Ali, Ayşe
    • Mehmet, Ayşe, Ali
      Toplam 6 yol yani 3! yol vardır.

  2. Formül: P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}.

    • n, toplam eleman sayısı.
    • r, seçilip sıralanacak eleman sayısı.

  3. Özel Durum (r=n): Tüm elemanları sıralıyorsanız P(n,n) = n! olur.

Kombinasyon Nedir?

Kombinasyon, “sıra önemli değildir” yaklaşımı ile öne çıkar. Yani elemanları sadece hangi elemanların seçileceği sizin için önemliyken, hangi sırayla seçildiği o sonucun adını değiştirmiyorsa kombinasyon kullanırsınız.

Formül:

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}.

Örneğin, 5 arkadaştan 2’sini sinemaya gitmek için seçmek istiyorsanız, kimin önce söylendiği önemli değildir. Seçtiğimiz 2 kişi yeterlidir. Dolayısıyla kombinasyon formülü ile yapılır.

Faktöriyel Kavramı

n! ifadesi:

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1

Örneğin 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040 gibi.

Örnek Senaryolar ve Bağlantılar

  1. Makale Yayım Sıraları (Soru 176’nın Mantığı):

    • Farklı konularda hazırlanmış 5 makale olduğunu düşünün. Her biri okurun ilgisini farklı çekebilir ve derginin tasarımında ilk yayımlanan makale kapakta da duyurulabilir. Dolayısıyla 5 makalenin hangi sırayla yayımlanacağı çok önemlidir.

  2. Dans Grupları (Soru 177’nin Mantığı):

    • Sahne organizasyonu yaparken bir müzikalde önce kimlerin görüneceği, figürlerin sırası, sahneye kimin hangi pozisyonda gireceği önemlidir. Bu sırayla duyulan heyecan ve etki farklı olabilir.

  3. Penaltı Sırası (Soru 178’nin Mantığı):

    • Futbol müsabakalarında penaltı atış sırası psikolojik olarak takımları etkiler. İlk atışı yapan daha fazla baskı altındadır veya kalecinin konsantrasyonu üzerinde farklı etkilere sahiptir. Seçilen 3 futbolcu ve bu 3’ünün atış sıralaması her penaltı atış kombinasyonunda farklı sonuç doğurabilir.

  4. Resmi Kayıtlar (Soru 179 ve 185):

    • Resmi yerlerde (kadastro, noter, vs.) kayıt sırası ileride hukuki veya idari düzenler açısından önem taşıyabilir. Hangi soyadın hangi sırada kaydedildiği, hangi sunucunun önce sunum yaptığı gibi konular, geçmişe dönük sorgulamalarda dahi farklı sonuçlara yol açabilir.

  5. Meyve Suyu Karışımları (Soru 180):

    • Mutfakta yeni tatlar deniyorsunuz. 3 çeşit meyve suyunu hangi sırayla karıştırdığınız tat farkı yaratabilir. Çünkü önce bardağa döktüğünüz meyve suyunun aromasının bardak içine yerleşme şekli ve diğeriyle karışması farklı olabilir.

  6. Ekip Düzeni (Soru 181):

    • Bir toplantıda veya sahne performansında 5 kişiyi, 2’şerli gruplar halinde art arda dizmek, sunum yaparken kimin hangi sırayla söz alacağı, nasıl takımlar oluşturulacağı vb. kararları sembolize eder.

  7. Vitrin Dizilimi (Soru 182):

    • Bir mağazada ürünleri dizmek, müşterilerin dikkatini çekmek açısından stratejiktir. Örneğin en dikkat çeken model ortada mı olacak, sol başta mı olacak gibi konular son derece önemlidir ve her dizilim farklı satış stratejisi demektir.

  8. Değer Temsil Eden Roller (Soru 183):

    • Bir tiyatro oyununda rollerin sırasını dahi değiştirdiğinizde dramaturji ve seyircinin algısı büyük farklılık gösterir.

  9. Kütüphanede Kitap Dizimi (Soru 184):

    • Kitapların nasıl dizildiği, okurun onlara ulaşmasında ve kütüphanenin estetiğinde önemli rol oynar. Ayrıca arama kolaylığı açısından.

  10. Sunucuların Sırası (Soru 185):

  • Kongre, sempozyum ya da toplantılarda sunucuların hangi sırayla konuşacağını belirlemek hem dinleyicinin dikkatini çekmek hem de zamanlamayı doğru yönetmek açısından kritik olabilir.

Bu günlük hayattan seçilmiş örnekler, permütasyon ve kombinasyon gibi kavramların yalnızca ders kitaplarında rastladığımız soyut matematiksel işlemler olmadığını, aksine gerçek hayatta da sık sık karşımıza çıkan durumları modellediğini gösterir.

Kavramların Karşılaştırmalı Tablosu

Aşağıdaki tabloda, çözdüğümüz sorulara dair temel bilgileri bir bakışta görebilirsiniz:

Soru No Soru İçeriği Uygun Yöntem Matematiksel Gösterim Hesaplanan Sonuç
176 5 makaleyi dergiye sırayla yayımlamak Tam permütasyon (5!) 5! 120
177 7 kişilik dans: ilk sahnede 3 kişi, ikinci sahnede 4 kişi, her sahnede kendi içine sıralı Komb. + perm. (C(7,3)·3!·4!) \binom{7}{3} \times 3! \times 4! 5040
178 9 futbolcudan 3’ünü penaltı atıcısı olarak seçip sıralamak Permütasyon (P(9,3)) \frac{9!}{6!} 504
179 10 farklı soydan 4’ünü seçip sırasıyla kaydetmek Permütasyon (P(10,4)) \frac{10!}{6!} 5040
180 6 meyve suyundan 3’ünü seçip dökme sırasını dikkate almak Permütasyon (P(6,3)) \frac{6!}{3!} 120
181 5 kişiyi iki ikili ve bir tekli grup (sıra önemli, grup içi sıra önemsiz) Komb. + mantık \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} 30
182 8 laptoptan 5’ini seçip vitrinde dizmek Permütasyon (P(8,5)) \frac{8!}{3!} 6720
183 7 kişiden 3’üne “sabır, sebat, sevinç” rollerini vermek (roller farklı) Kombinasyon + permütasyon \binom{7}{3} \times 3! 210
184 10 farklı romanı bir rafa dizmek Tam permütasyon (10!) 10! 3.628.800
185 4 kişiden 2’sini seçip sunu sırasını belirlemek Permütasyon (P(4,2)) \frac{4!}{2!} 12

Bu tablodan yola çıkarak, her bir sorunun farklı bir permütasyon veya kombinasyon uygulaması olduğunu görebilirsiniz.

Formüllerin Derinlemesine Açıklanması

  1. Faktöriyel (n!)

    • Pozitif bir tam sayı olan n için n!, $n$’den 1’e kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır.
    • n! büyüdükçe sayı çok hızlı artar. Örneğin 10! = 3.628.800, 12! = 479.001.600, vb.

  2. Permütasyon Formülü

    P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
    • Bu formül, “$n$ elemanın içinden r tanesini sırayla seçeceğiz” demektir. İlk elemanı n seçenek içinden, ikinci elemanı n-1 seçenek içinden, vb. seçerek n \times (n-1) \times \dots \times (n-r+1) elde edersiniz ki o da n! / (n-r)! ile aynı şeydir.

  3. Kombinasyon Formülü

    \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
    • “$n$ elemandan r tanesini sırasız seçmek” kavramıdır. Seçimde sıranın önemi olmadığı için, permütasyondaki fazla saymayı r! ile bölerek giderirsiniz.

  4. Kombinasyon + Permütasyon Birlikteliği

    • Bazı sorularda önce kombinezon (seçim) yapmanız gerekir, sonra seçtiğiniz elemanları permütasyon (sıralama) olarak düzenlemeniz gerekir. Örneğin Soru 178’de “3 futbolcu seçip atış sırasını belirlemek” işlemini 2 adımda yapmak:
      • Adım 1: 3 kişiyi seç (\binom{9}{3}).
      • Adım 2: Seçilen 3 kişiyi sırala (3!).
    • Çarpımı, kısaca P(9,3) ile aynıdır.

Ekstra Notlar, İpuçları ve İleride Karşılaşılabilecek Varyasyonlar

  1. Tekrarlı Permütasyon ve Kombinasyonlar:

    • Eğer sorularda bazı elemanların birbirine aynı olduğu durumlar verilirse veya birden fazla tekrar edebilme özelliği varsa (örneğin aynı tip meyve suyu birden fazla kutu), formüller farklılaşır. Bu sorularda tüm elemanlar “farklı” kabul edilmiştir.

  2. Dairesel Permütasyonlar (Çember Problemleri):

    • Kol kola dizilmenin çember şeklinde olması gibi durumlarda (n-1)! formülü karşınıza çıkar. Yukarıdaki sorularda doğrusal sıralama olduğu için buna ihtiyaç yoktur.

  3. Gruplama Problemleri:

      1. soruda olduğu gibi, gruplama ve sonrasında sıralama sorularında dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, “grup içi sıra önemsiz mi, önemli mi?” ve “grupların kendi içindeki sırası fark yaratıyor mu?” sorularını netleştirmektir.

  4. Gerçek Hayatta Proje Planı / İş Sıralaması:

    • Proje yönetiminde hangi işin hangi sırayla yapılacağı da benzer bir permütasyon mantığıyla belirlenir (özellikle “kritik yol” hesaplanırken).

  5. Büyük Sayılarla Baş Etme:

    • 10! gibi sayılar okul düzeyinde kolayca hesaplanabilir fakat 20! veya 50! gibi değerler çok büyüktür ve hesap makinesi ya da yazılım kullanmak gerekir.

Son Söz ve Kısa Özet

Yukarıda her bir soru için:

  • Hangi formülün (kombinasyon veya permütasyon) uygulanacağı,
  • Adım adım nasıl hesaplanacağı,
  • Son neden o olduğu (neden sıralama önemli, neden seçim önemli vb.)

detaylıca açıklanmıştır. Soru tiplerinin çoğu birbirine benzer niteliktedir, sadece “sıra önemli mi, değil mi?” ve “kaç eleman seçiliyor?” gibi noktalara dikkat etmek yeterlidir. Bu tür problemleri çözerken:

  1. Problemi Okuyun: Anahtar kelimeleri saptayın (seçme, sıralama, birinci-ikinci farkı, vb.).
  2. Hangi Kavram Uygun? Sıra önemliyse permütasyon, önemli değilse kombinasyon genelde yeter.
  3. Formülü Uygulayın: Gerekirse önce kombinezonla seçin sonra permütasyonla sıralayın, ya da doğrudan permütasyon formülünü kullanın.
  4. Gerçek Hayat Bağlantısı Kurun: Daha iyi anlamak için problemleri günlük hayattaki örneklerle ilişkilendirin.

Bu şekilde, matematikteki olasılık ve sayma alanında çok sık karşımıza çıkan permütasyon-kombinasyon konularında ustalaşabilirsiniz.

@Irem_Erkus1