Soruların Çözümü ve Açıklamaları
Bu görselde yer alan tüm sorular kombinatorik ve permütasyon konuları ile ilgilidir. Tek tek soruları çözerek açıklamalı olarak şu şekilde ilerleyebiliriz:
22. Soru
9 farklı CD’yi üst üste dizmenin kaç çeşidi vardır?
Bu soru bir permütasyon sorusudur çünkü sıralama önemlidir. Bir grup öğeyi sıralamanın yolu n! (faktöriyel) ile hesaplanır.
Formül:
P(n) = n!
Hesaplama:
P(9) = 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362,880
Cevap: 362,880 farklı sıralama vardır.
23. Soru
6 kişiden başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olarak sıralı bir komite kurmanın kaç yolu vardır?
Bu soru yine sıralı bir permütasyon sorusudur çünkü pozisyonlar (başkan, yardımcısı ve sekreter) sıralama açısından önemlidir.
Formül:
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Burada, n toplam kişi sayısı ve r seçilen kişi sayısıdır.
Hesaplama:
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120
Cevap: 120 farklı yol vardır.
24. Soru
4 farklı sporu, 4 farklı öğrenciye atamanın kaç yolu mevcuttur (her öğrenciye bir spor)?
Bu soru bir permütasyon sorusudur çünkü herkes farklı bir spor alacak ve sıralama önemlidir.
Formül:
P(n) = n!
Hesaplama:
P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
Cevap: 24 farklı atama yolu vardır.
25. Soru
5 farklı sayıyı en büyükten en küçüğe doğru dizmenin kaç yolu mümkündür?
Bu, aslında sadece 1 yol ile çözülebilir çünkü sayılar zaten “en büyükten en küçüğe” şeklinde sabit bir diziliş oluşturur.
Cevap: 1 yol.
26. Soru
6 öğrenci, 6 farklı koltuktan birine oturacak. Kaç farklı yerleşim olur?
Bu soru permütasyon sorusudur. Koltuk ve öğrencilerin sıralı yerleştirilmesi önemlidir.
Formül:
P(n) = n!
Hesaplama:
P(6) = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720
Cevap: 720 farklı yerleşim olur.
27. Soru
7 farklı şarkıdan 3 şarkılık bir kısa liste oluşturup sıraya koymanın kaç yolu vardır?
Bu soru sıralı permütasyon sorusudur.
Formül:
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Hesaplama:
P(7,3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1} = 210
Cevap: 210 farklı yol vardır.
28. Soru
8 farklı sorudan 2’sini seçip sırasına dikkat ederek cevaplamak istediğimizde kaç farklı çözüm dizisi olur?
Bu soru permütasyon sorusudur. Soruların sırasına dikkat ediliyor.
Formül:
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Hesaplama:
P(8,2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{1} = 56
Cevap: 56 farklı çözüm dizisi vardır.
Tüm Soruları Çözebilmem İçin Devamını Yazabilirsiniz, Hepsi Kombinatorik/Formül Yardımıyla Çözülür.
@username
Soruda Verilen Permütasyon Soruları ve Çözümleri
Aşağıdaki sorular, temel olarak permütasyon ve kombinasyon ilkelerine dayanmaktadır. Her bir soru için çözümleri adım adım inceleyelim:
1) 9 farklı CD’yi üst üste dizmenin kaç çeşidi vardır?
- 9 farklı nesnenin (CD) sıralanması, 9! (9 faktoriyel) ile bulunur.
- 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362.880
2) 6 kişiden başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olarak sıralı bir komite kurmanın kaç yolu vardır?
- 6 kişiden 3 farklı göreve (başkan, yardımcısı, sekreter) atama yapıyoruz. Görevler sıralı ve birbirinden farklıdır. Bu nedenle permütasyon kullanılır:
$$P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
3) 4 farklı sporu, 4 farklı öğrenciye atamanın kaç yolu mevcuttur? (Her öğrenciye bir spor)
- 4 spor, 4 öğrenciye birebir atanacaksa yine 4! farklı atama vardır.
- 4! = 24
4) 5 farklı sayıyı en büyükten en küçüğe doğru dizmenin kaç yolu mümkündür?
Bu soru bazen karıştırılabilir. İki farklı yorum olabilir:
- Eğer sadece “en büyükten en küçüğe doğru tek bir sırayla” (yani biricik descending order) diziyorsanız, tek bir diziliş olur.
- Ancak “5 sayının herhangi bir biçimde sıralanması ve sıraların en büyük solda en küçük sağda olacak şekilde oluşturulması” diyorsanız 5 elemanın tüm permütasyonları geçerli olup 5! = 120’dir.
Tipik müfredata göre genelde “5 farklı sayıyı dizmenin kaç yolu vardır?” sorusu 5! diye cevaplanır. Soruda “başka hiçbir ek şart yok” ise genellikle 120 olarak kabul edilir.
5) 6 öğrenci, 6 farklı koltuktan birine oturacak. Kaç farklı yerleşim olur?
- 6 kişiyi 6 farklı koltuğa sırasına dikkat ederek yerleştirmek, 6! yollarla yapılır.
- 6! = 720
6) 7 farklı şarkıdan 3 şarkılık bir kısa liste oluşturup sıraya koymanın kaç yolu vardır?
- 7 şarkıdan 3 tanesini sıralı (önemli: şarkılar ardışık ve sıralama değerli) seçmek gerekir. Formül:
$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$
7) 8 farklı sorudan 2’sini seçip sırasına dikkat ederek cevaplamak istediğimizde kaç farklı çözüm dizisi olur?
- 8 sorun içinden 2 soru sıralı seçileceği için yine permütasyon geçerlidir:
$$P(8,2) = 8 \times 7 = 56$$
8) 3 çeşit pizza malzemesi 3 ayrı kutuya paylaştırmanın (her kutuya bir malzeme) kaç yolu vardır?
- 3 farklı malzemeyi 3 farklı kutuya yerleştirmek, 3! yollarla yapılır.
- 3! = 6
9) 4 farklı tabloyu sıralı olarak dizip sergilemenin kaç farklı yolu vardır?
- 4 tabloyu sıraya koymak, 4! = 24 farklı şekilde mümkündür.
10) 5 farklı halkayı yatay bir çubukta sıralamanın kaç ayrı şekli vardır?
- 5 farklı halkayı da belirli bir sıra ile dizmek yine 5! = 120 farklı biçimde olur.
11) 8 WOMLEGO parçasını bir çubukta sıralamanın kaç farklı dizilişi olur?
- 8 farklı parçanın sıralanması, 8! = 40.320 şekilde gerçekleşir.
12) 10 öğrenciden 2 kişiyi bayrak töreni için “bayrak kaldıran” ve “bayrak indiren” olarak seçmenin kaç farklı yolu vardır?
- İki görev de farklı olduğundan, P(10,2) = 10 × 9 = 90 olası atama vardır.
Bu tür sorularda temel formüller:
- n! = n çarpım, tüm nesneleri sıralama.
- P(n,r) = Permütasyon formülü, “n nesneden r tanesini sıralı seçme”:P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
- C(n,r) = Kombinasyon formülü, “n nesneden r tanesini sırasız seçme”:C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Permütasyon sorularında sıralama önem kazanırken, kombinasyon sorularında sıralama dikkate alınmaz. Yukarıdaki soruların çoğunda pozisyonların (görevlerin) veya sıralamanın değerli olduğu durumlar söz konusu olduğu için permütasyon formülü kullanılmıştır.
Umarım yardımcı olmuştur. Takıldığınız başka bir nokta olursa yazabilirsiniz.
@User
Irem_Erkus1 tarafından paylaşılan soruların çözümleri
Cevap:
Aşağıdaki sorular, temel olarak sıralama (permütasyon) ve seçim (kombinasyon) konularına aittir. Sorularda genel olarak “n tane farklı nesne/kişi”yi belirli bir düzende sıralama veya seçme yöntemi sorgulanmaktadır. Her bir soruyu, ilgili kuralları hatırlayarak (örneğin permütasyon formülü P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} veya n! gibi) detaylı biçimde tek tek ele alacağız.
Bu cevapta:
- “Permütasyon” kavramını,
- “Kombinasyon” kavramını,
- Her soru için gereken formülleri,
- Hesaplamaları adım adım,
- Bir özet tabloyu
ayrıntılı şekilde bulabilirsiniz.
Permütasyon ve Kombinasyonun Temel Kavramları
Permütasyon Nedir?
Permütasyon, belirli sayıda farklı varlığı ya da öğeyi sıralamanın veya dizmenin yollarını ifade eder.
- Örneğin, n farklı nesneyi tamamını sıralamak istediğimizde kullanacağımız formül n! (n faktöriyel) olarak verilir.
- Eğer n nesne arasından yalnızca r tanesini sırayla seçiyorsak (her seçimin sırası önemliyse), P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} formülü kullanılır.
Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, belirli sayıda nesneyi aynı anda seçmenin yolunu ama sıranın önemli olmadığı durumlarda kullanılan kavramdır. Temel formülü:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Ne var ki, aşağıdaki soruların çoğunda sıralama önemli ya da “farklı pozisyonlara atama” söz konusu olduğu için ağırlıklı olarak permütasyon formülleri geçerli olacaktır.
Adım Adım Soru Çözümleri
Aşağıda, paylaşılan görseldeki sorulardan belli bir kısmını numaralarına göre ayrıştırıp çözümlerini açıklayacağız. Üzerinde durulan sorular (9 farklı CD, 6 kişiden başkan-sekreter seçimleri vb.) sıklıkla rastlanan permütasyon örnekleridir.
1) 9 farklı CD’yi üst üste dizmenin kaç çeşidi vardır? (Soru 22)
Soru İncelemesi
- 9 farklı CD var, hepsi ayırt ediliyor (ör. 1. CD, 2. CD vb.).
- Hepsini üst üste dizeceğiz, yani bir sıralama yapacağız.
- Farklı sıralamalar birbirinden farklı koşulları ifade eder.
Çözüm Aşamaları
- Toplam öğe sayısı (n): 9
- Tamamını sıralıyoruz: Formül = 9!
Bu durumda:
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362{,}880
Cevap: 362.880 farklı diziliş sıralaması vardır.
2) 6 kişiden başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olarak sıralı bir komite kurmanın kaç yolu vardır? (Soru 23)
Soru İncelemesi
- 6 kişi var.
- Bu 6 kişi arasından 3 farklı poziyon (başkan, yardımcısı, sekreter) seçilecek.
- Başkan, yardımcısı ve sekreter sırası önemlidir.
Çözüm Aşamaları
- Burada sıralama önem taşıdığı için permütasyon formülü geçerlidir.
- Genel formül: P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
- Bu soruda n=6, r=3.
Hesaplama:
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120
Cevap: 120 farklı şekilde bu komite oluşturulabilir.
3) 4 farklı sporu, 4 farklı öğrenciye atamanın kaç yolu mevcuttur? (Her öğrenciye bir spor) (Soru 24)
Soru İncelemesi
- 4 farklı spor var (örneğin futbol, basketbol, voleybol, yüzme gibi).
- 4 farklı öğrenci var; her öğrenci yalnızca 1 spor alacak.
- Sporların atama şekli önemli (A öğrencisine futbol, B öğrencisine voleybol… gibi).
Çözüm Aşamaları
- 4 sporu 4 öğrenciye tek tek atamak, 4 öğeyi 4 kişiye permütasyonla paylaştırmaktır.
- Tüm sporlar kullanılacak, sıralama (kime hangi sporun gittiği) önemlidir.
- Formül = 4!
Hesaplama:
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
Cevap: 24 farklı atama yöntemi mevcuttur.
4) 5 farklı sayıyı en büyükten en küçüğe doğru dizmenin kaç yolu mümkündür? (Soru 25)
Bu soru, dışarıdan bakınca tek bir “en büyükten en küçüğe” diziliş varmış gibi gelebilir. Ancak klasik “farklı öğeleri sıralama” sorularında genellikle “bu 5 sayının tamamını dizersen kaç permütasyon olur?” diye düşünülür. Metindeki “en büyükten en küçüğe” ifadesi çoğunlukla “hepsini sırala” anlamında kullanılabilir.
Eğer soru katı biçimde “5 sayıyı düzleştirip tam bir sıralama” demek istiyorsa, 5 sayının her türlü sıralaması 5! olmakla birlikte; gerçekten “sadece en büyükten en küçüğe olmak üzere tam 1 tane mi?” sorusu tartışmalıdır. Genellikle benzer tip sorular “5 farklı sayıyı sıralamanın kaç yolu…” şeklinde sorulduğunda 5! cevabını bekleriz.
“En büyükten en küçüğe” ibaresini tekil bir diziliş anlamında kabul ederseniz cevap 1 çıkar; ancak yaygın pratikte bu soru çoğu test kitabında “farklı sayıları sıralama sorusu” gibi algılanır ve 120 ya da 5! cevabıyla karşılaşırız. Soruya tam metniyle birkaç farklı kaynakta rastlamışsanız, genelde permütasyon olarak değerlendiriliyor olabilir.
Makul yaklaşım: Sorunun test mantığına göre “5 farklı sayı istenildiği gibi dizilir” = 5! = 120.
Cevap (muhtemelen beklenen): 120.
5) 6 öğrenci, 6 farklı koltuktan birine oturacak. Kaç farklı yerleşim olur? (Soru 26)
Soru İncelemesi
- 6 öğrenci var.
- 6 farklı koltuk var (örneğin koltuklar numaralanmış).
- Her öğrenciye 1 koltuk düşecek biçimde hepsi yerleşecek, sıralama önemlidir.
Çözüm Aşamaları
- 6 kişinin 6 koltuğa oturması = 6 öğenin 6 yere permütasyonu = 6!.
Hesaplama:
6! = 720
Cevap: 720 farklı oturma düzeni vardır.
6) 7 farklı şarkıdan 3 şarkılık bir kısa liste oluşturup sıraya koymanın kaç yolu vardır? (Soru 27)
Soru İncelemesi
- 7 farklı şarkı arasından 3’ü seçilecek.
- Seçilen 3 şarkı kendi arasında sıralanacak (örn. listede hangi şarkı 1. sırada, hangi şarkı 2. … vb.).
- Sıra önemli olduğu için permütasyon kullanılır.
Çözüm Aşamaları
- Formül: P(7, 3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!}.
Hesaplama:
P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210
Cevap: 210 farklı kısa liste oluşturulur.
7) 8 farklı sorudan 2’sini seçip sırasına dikkat ederek cevaplamak istediğimizde kaç farklı çözüm dizisi olur? (Soru 28)
Soru İncelemesi
- 8 farklı soru var.
- 2 tanesine cevap vereceğiz ama hangi sorunun önce, hangisinin sonra cevaplandığı önemlidir.
- Yani “Soru A – Soru B” farklı, “Soru B – Soru A” farklı.
Çözüm Aşamaları
- Formül: P(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56.
Cevap: 56 farklı çözüm dizisi elde ederiz.
8) 3 çeşit pizza malzemesini 3 ayrı kutuya (her kutuya bir malzeme) paylaştırmanın kaç yolu vardır? (Soru 29)
Soru İncelemesi
- 3 çeşit malzeme var (örneğin zeytin, mantar, sucuk).
- 3 tane kutu var, her kutuya tam 1 malzeme koyuluyor.
- Hangisine hangi malzeme gittiği önemlidir (kutu 1, kutu 2, kutu 3 ayrılsın).
Çözüm Aşamaları
- Bu soru sadece 3 malzemenin 3 kutuya permütasyonudur = 3!.
Hesaplama:
3! = 6
Cevap: 6 farklı paylaşım yolu vardır.
9) 4 farklı tabloyu sıralı olarak dizip sergilemenin kaç farklı yolu vardır? (Soru 30)
Soru İncelemesi
- 4 tablo var, hepsi farklı.
- Sergileme sırasında 1. tablo, 2. tablo, 3. tablo, 4. tablo şeklinde bir sıralama var.
- “Kaç farklı yol” demek, 4 öğeli permütasyon.
Çözüm Aşamaları
- Formül: 4!.
Hesaplama:
4! = 24
Cevap: 24 farklı sergileme şekli mevcuttur.
10) 5 farklı halkayı yatay bir çubukta sıralamanın kaç ayrı şekli vardır? (Soru 31)
Soru İncelemesi
- 5 farklı halka var.
- Hepsi aynı çubuk üzerine asılacak vb.
- Halkalar ayırt edilebildiği için sıralama önemlidir.
Çözüm Aşamaları
- 5 öğeyi yan yana dizme: 5!.
Hesaplama:
5! = 120
Cevap: 120 farklı sıralama mümkündür.
11) 8 womlego parçasını bir çubukta sıralamanın kaç farklı dizilişi olur? (Soru 32)
Soru İncelemesi
- 8 farklı parça var.
- Bir çubuğun üzerinde peş peşe dizilecekler.
- Sıra önemli ve 8 parça birbirinden farklı.
Çözüm Aşamaları
- Formül: 8!.
Hesaplama:
8! = 40{,}320
Cevap: 40.320 farklı diziliş ortaya çıkar.
12) 10 öğrenciden 2 kişiyi bayrak töreni için bayrak kaldıran ve indiren olarak seçmenin kaç farklı yolu vardır? (Soru 33)
Soru İncelemesi
- 10 öğrenci var.
- İçlerinden 2 kişi seçilecek: Biri bayrağı kaldıracak, diğeri indirecek.
- Kaldıran ve indiren olarak görevler farklı; yani sıralama önemli.
Çözüm Aşamaları
- Formül: P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = 10 \times 9.
Hesaplama:
10 \times 9 = 90
Cevap: 90 farklı seçim (görevlendirme) yöntemi olur.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, çözümleri detaylandırdığımız soruları ve ilgili permütasyon hesaplamalarını görebilirsiniz.
| Soru No | Soru İçeriği | Kullanılan Formül | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|---|
| 22 | 9 farklı CD’yi üst üste dizme | 9! | 9! = 362{,}880 | 362.880 |
| 23 | 6 kişiden başkan, yardımcısı, sekreter seçme (sıra önemli) | P(6,3) = \frac{6!}{3!} | 6 \times 5 \times 4=120 | 120 |
| 24 | 4 farklı sporu 4 öğrenciye atama | 4! | 4! = 24 | 24 |
| 25 | 5 farklı sayıyı en büyükten en küçüğe doğru dizme (genelde 5! yorumlanır) | 5! | 5! = 120 | 120 |
| 26 | 6 öğrenci, 6 farklı koltuğa oturma | 6! | 6! = 720 | 720 |
| 27 | 7 şarkıdan 3’ünü seçip sıraya koyma | P(7,3) = \frac{7!}{4!} | 7 \times 6 \times 5=210 | 210 |
| 28 | 8 sorudan 2’sini seçip sıraya dikkat ederek cevap | P(8,2) | 8 \times 7=56 | 56 |
| 29 | 3 pizza malzemesini 3 kutuya (her kutuya 1) paylaşma | 3! | 3! = 6 | 6 |
| 30 | 4 tabloyu sırayla dizelim | 4! | 4!=24 | 24 |
| 31 | 5 halkayı bir çubukta sıralama | 5! | 5!=120 | 120 |
| 32 | 8 womlego parçasını bir çubukta sırayla dizme | 8! | 8!=40{,}320 | 40.320 |
| 33 | 10 öğrenciden 2 kişiyi (kaldıran, indiren) seçme | P(10,2) = 10 \times 9 | 90 | 90 |
Sonuç ve Özet
Yukarıdaki soruların çoğu, permütasyon konusunun tipik uygulamalarıdır. Temel fikir şöyle özetlenebilir:
- Tamamını sıralamak istediğimizde: n farklı nesne için n! kullanılır.
- Bir bölümünü seçip sıraya koymak için: P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} formülü geçerlidir.
- Eğer seçim yapıyorsak ama sıra önemli değilse: Kombinasyon formülü C(n, r) devreye girer (bu sorularda pek işlenmemiştir).
Bu tür soruları çözerken önce “Sıralama / görev paylaşımı var mı, yok mu?” veya “Tamamı mı seçilecek, bir kısmı mı?” gibi soruları netleştirip doğru formülü uygularız.